théorie des nombres comme théorie physique ultime

Number theory as the ultimate physical theory

http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/volovich1.pdf

 Dans la première « méditation », sur l’Un et le multiple, de « L’être et l’évènement », Badiou dit ceci :

 « ce qu’il faut énoncer, c’est que l’un, qui n’est pas, existe seulement comme opération. Ou encore : il n’y a pas d’un, il n’y a que le compte-pour-un. L’un, d’être une opération, n’est jamais une présentation.. Il convient de prendre tout à fait au sérieux que « un » soit un nombre. Et, sauf à pythagoriser, il n’y a pas lieu de poser que l’être en tant qu’être soit nombre ».

 

L’être en tant qu’être dont parle Badiou, c’est évidemment l’objet de l’ontologie, doctrine (depuis Aristote) de l’être-en-tant-qu’être. Ce qui veut dire : l’être « avant » qu’il soit saisi et conceptualisé par une conscience humaine. La « révolution » introduite par Badiou consiste à pointer que l’ontologie existe bel et bien, et a toujours existé, un peu, comme la « prima materia » des alchimistes, au nez et à la barbe des philosophes , et que ce n’est pas une discipline qui ferait partie de la philosophie : l’ontologie, ce sont les mathématiques. Ce n’est pas pour Badiou une discipline de la philosophie, mais une « condition » de celle ci, avec les trois autres conditions : l’amour , la politique, et le poème (l’art).

 

Mais nous avons quant à nous décidé de croiser dorénavant très loin de Badiou, et l’ontologie, l’être en tant qu’être, tout cela ne veut plus rien dire pour nous. Inspirés plutôt par la pensée de Brunschvicg et sa lecture de Descartes et Spinoza, c’est l’Un qui prend sens pour nous plutôt que l’Etre. D’ailleurs le « mystère ontologique » cher à Gabriel Marcel a bien des relents heidegerriens et « thomistes » que nous ne pouvons accepter. Ne fût ce que parce que nous ne reconnaissons aucun « mystère ».

 

Voir les choses selon l’Un plutôt que selon l’être, cela consiste à remettre la pensée à sa place : la première. L’intelligence n’est pas contenue dans le monde, c’est le monde qui est contenu dans l’intelligence. « Le mental est avant-coureur des phénomènes » dit aussi le Dhammapada bouddhiste. La philosophie consiste à regarder l’unifiant (la pensée, l’intelligence) plutôt que l’unifié (les phénomènes expliqués par la science). La philosophie est ainsi « connaissance intégrale » parce que connaissance de l’esprit humain, et non du monde. Seule l’intelligence est totalement transparente à l’intelligence. Voir là dessus les développements de Brunschvicg dans le premier chapitre de « La modalité du jugement ».

 

C’est bien à la philosophie intellectualiste de Brunschvicg, qui comme il le dit si bien ne peut être qu’une philosophie de l’activité (de l’activité unifiante de l’intelligence) ainsi qu’au pythagorisme antique que nous introduit l’article de Volovich. Mais attention : si Badiou refuse de « pythagoriser », c’est peut être parce qu’il se méfie du « mauvais pythagorisme » (le pythagorisme mystique, qui encombre quelques menées sectaires et « spiritualisantes » contemporaines) et le confond avec la totalité du pythagorisme. Mais là encore Brunschvicg nous a prévenus : l’ une des tragédies originelles de l’Europe consiste en la scission de l’école pythagoricienne entre « mathematikoi » (les tenants de l’intelligence dans sa dimension spirituelle pure) et « akousmatikoi » : les mystiques, contaminés par l’Orient (en sanskrit on parle de « shruti », consistant à s’asseoir et écouter le gourou expliquant la tradition ou « smriti »). Les akousmatikoi, ceux qui « écoutent » (ce que disent les maitres spirituels, ou du moins les charlatans qui s’intronisent à ce poste) se transmettent et retransmettent non pas de véritables connaissances mais simplement des « mots ». Tout l’esprit de la scolastique est de croire aux mots, de se laisser guider par des mots. Les mathematikoi par contre sont les hommes de la seule véritable autonomie spirituelle, celle de la mathesis, qui plus tard sera celle d’un Descartes ou d’un Spinoza, venus rétablir la véritable spiritualité européenne

Il s’agit de pousser jusqu’au bout, comme le dit clairement Volovich d’ailleurs (en page 14 de l’article) , le programme d’Einstein de réduire la physique à la géométrie. C’est cela, la physique analytique (et intellectualiste) décrite par Brunschvicg, et dont il voit l’acte de baptême dans la fondation de la féométrie analytique par Descartes en 1637 (alors que, comble de l’ironie, la physique cartésienne restera engluée dans l’esprit scolastique) : « créer » le monde, le seul « monde » véritable, constitué par les rapports purement intellectuels des mathématiques qui sont des équations, des morphismes ou des foncteurs.

 

Le programme tracé par Volovich (et qui donne lieu à de prodigieux développements à l’heure actuelle, 20 ans après) va « un cran plus loin » que celui d’Einstein en ce qu’il dépasse la géométrie riemannienne des variétés (« manifold ») sur le corps des nombres réels. Car il est bien connu qu’à l’échelle de Planck (10-33 m) il est impossible, d’ après le principe d’équivalence en gravité quantique, de « mesurer » une grandeur comme la distance, et il est donc impossible (rationnellement) de parler de particules aussi bien que de « cordes » (dans la théorie des supercordes) qui sont des « boucles ». Volovich affirme, et nous le suivons ici, qu’il est illusoire de penser pouvoir s’en sortir par des artifices techniques, il s’agit d’une impossiblité principielle : l’espace temps de la géométrie classique (je ne parle pas seulement ici de la géométrie euclidienne, mais aussi de la riemannienne) n’a plus aucun sens. On sait qu’une distance équivaut , à une inversion près, à une énergie : à distance plus petite énergie (dans les accélérateurs de particules) plus grande nécessaire. On ne saurait compter sur l’expérience pour « aller voir » ce qui se passe aux échelles « sous-planckiennes ».

 

Il reste donc la spéculation mathématique, juste revanche du rationalisme « a priori » français (cartésien) sur l’empirisme anglo-saxon (humien). Volovich propose de remplacer , comme corps de nombres associés à la géométrie, le corps des nombres réels par un corps fini Fp ou un corps de nombres p-adiques.

 

Les nombres p-adiques se distinguent par des propriétés tout à fait spécifiques et très différentes de celles des réels, qui nous servent à modéliser nos intuitions communes à propos de l’espace et du temps (notamment parce que le corps R des réels est un corps ordonné). On les définit en s’appuyant sur une norme (sur les entiers et les rationnels) différente de celle correspondant à la valeur absolue classique . Soit n un entier : on sait d’après l’arithmétique élémentaire qu’il possède une décomposition unique en facteurs premiers :

 

n = 2k2.3k3……pkp…….

 

tous les nombres premiers apparaissent, mais l’exposant est zéro pour les nombres premiers qui ne divisent pas n. On définit la valuation p-adique (pour p un nombre premier fixé) de cet entier n par : [n]p = p-kp ; donc si p n’est pas facteur de n, la valuation p-adique de n est évidemment 1 . On vérifie que cette définition obéit bien aux critères pour une valuation, à savoir une fonction à valeurs dans R+ telle que:

 

[n] = 0 équivaut à n = 0;

 

[xy]=[x][y]

 

et [x + y] < ou égal à [x] + [y]

 

En fait pour la valuation p-adique la dernière inégalité, dite triangulaire, peut être remplacée par un critère plus fort qui est dit « non archimédien », à savoir :

 

[x + y] < ou égal max ([x],[y))

 

Dans un corps archimédien, comme R avec la valeur absolue claissque, étant données deux quantités l et L, l < L, on poura toujours trouver un entier n tel que :

 

[ nl] > L ; c’est à dire qu’on pourra toujours ajouter l + l + l …de manière à dépasser L

 

Ce n’est pas le cas dans un corps non archimédien, comme le sont les corps p-adiques Qp qui sont définis comme R par la complétion de Q (corps des nombres rationnels) pour la valuation p-adique (étendue des entiers aux rationnels par [n/m]=[n]/[m] ).

 

La physique résultant de l’emploi de coordonnées p-adiques pour les variables de temps et d’espace est profondément différente de celle obtenue avec les réels, et pourrait bien s’avérer fructueuse pour les questions de cosmologie du Big Bang par exemple. Le dépassement du programme einsteinien consiste à réduire la physique, non plus à la géométrie riemannienne réelle, mais à d’autres géométries sur d’autres corps de nombres. C’est en ce sens que la vieille maxime pythagoricienne : « tout est nombre » , est revisitée et réalisée. On peut parler de réduction à la physique à la théorie des nombres. L’ontologie réductionniste (visant à trouver des « briques fondamentales » de la réalité, que ce soit les quarks, les cordes, etc…) cède la place à un idéalisme intellectualiste où « ce qu’il y a  » est remplacé par « ce qui unifie » tous les cadres de pensée : la théorie des nombres. En ce sens on peut ici parler de mathesis universalis à la Descartes.

 

On pourra aller plus loin sur ces questions en consultant les sites suivants :

 

Number theory and physics archive:

http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/physics.htm

Number theory web :

http://www.numbertheory.org/

 Une autre source de renouvellement théorique en physique est évidemment la théorie des topoi. Les deux sont d’ailleurs liées, et conduisent à des fabuleuses perspectives de travaux futurs, car l’on sait que dans bien des topoi on peut définir des « nombres naturels » et des « nombres réels ». A quand des généralisation des nombres p-adiques dans certains topoi ?

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