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Penrose, Platon et les mathématiques

Le monde platonicien des idées et les mathématiques

Relisons  l’article de Brunschvicg : « De quelques préjugés contre la philosophie » :

http://www.scribd.com/doc/3611188/Brunschvicg-De-quelques-prejuges-contre-la-philosophie

« cette thèse considérée par Platon comme évidente, selon laquelle l’âme humaine ne peut contenir aucune notion qui naisse d’elle même, qui n’implique pas l’existence d’un objet, le progrès de la réflexion idéaliste a conduit à la rejeter: l’idée, en tant qu’acte de l’esprit, est indépendante de toute relation extérieure; elle porte en elle la marque de sa vérité; l’idée n’est unie qu’à l’idée et cette unification systématique fait de l’ensemble des idées un monde qui se suffit à lui même »

C’est à Spinoza que nous sommes redevables, selon Brunschvicg, de ce progrès de la réflexion idéaliste, qui est progrès irréversible de la conscience; en témoigne la proposition spinoziste :

« Les modes de la pensée comme l’amour, le désir ou toute autre affection de l’âme, ne sont pas donnés sans que dans le même individu l’idée ne soit donnée de la chose qui est aimée, désirée, etc…

Mais l’idée peut être donnée, sans qu’aucun autre mode de la pensée soit donné »

Et Brunschvicg note qu’il s’agit pour Spinoza d’un axiome philosophique, évident et intelligible par soi, mais que la philosophie des siècles suivants n’a pas admis cet axiome. D’ailleurs il admet qu’il n’existe pas en philosophie d’axiomes, de proposition en soi incontestable, que l’on soit dispensé de prouver, ou tout au moins de justifier. C’est la tâche dont il s’acquitte dans l’article : la réfutation des doctrines de penseurs très profonds, comme Pascal, Rousseau, Kant ou Schopenhauer, qui ont tenté d’élver le sentiment ou la volonté au dessus de la pure raison théorique.

Je récuse pour ma part le terme d’axiome philosophique, puisque le terme d’axiome a pris en logique et en mathématiques une signification qui ne revnoie nullement à une proposition évidente et intelligible par soi (ne serait ce que parce qu’il existe des systèmes axiomatiques divergents et concurrents). Mais il me semble que la justification opérée par Brunschvicg nous autorise, pour notre part, à en revenir à la position de Spinoza (et de Descartes ou Malebranche).

« Suivant cette proposition de Spinoza, seul, dans l’âme humaine, l’acte intellectuel, l’idée, existe d’une façon indépendante, capable de se suffir à soi même; il précède tout ce qui ressortit à l’ordre des sentiments et de la volonté, qui, dans une certaine mesure au moins, en est issu ».

Il s’agit là de la formulation la plus simple de la philosophie rationnelle. On aurait tort d’y voir un dualisme qui opposerait deux « ordres » de substances absolument existantes l’une et l’autre : monde physique des corps, et monde spirituel des esprits.  Car seul EST réellement l’esprit, ou le monde des idées, c’est à dire des actes intellectuels,  selon cette philosophie, qui est selon nous la philosophie véritable, et que nous pouvons qualifier aussi de « processus de développement du platonisme », puisque comme le note Whitehead :

« toute la philosophie (occidentale) est composée de notes en bas de page des ouvrages de Platon ».

(à quoi il convient tout de même d’ajouter que ce qui nous reste de Platon ne forme qu’une petite partie de ce qu’il avait réellement laissé à la postérité, et que la partie la plus importante de son enseignement était orale, non écrite : nous pouvons cependant avancer que dans cet enseignement oral et « ésotérique » les Nombres, et plus généralement la mathesis et la géométrie, avaient une importance cruciale)

La guerre d’idées du platonisme , c’est à dire de la philosophie donc, contre ses travestissements est éternelle, car ces derniers forment une palette très étendue, allant du mysticisme au scientisme ou au matérialisme.

Le dernier exemple en date est celui qui oppose Alain Badiou, se réclamant de Platon, et sa « dialectique matérialiste », à ce qu’il appelle le « matérialisme démocratique », et qui est le système « officiel » du capitalisme financier mondialisé.

L’opposition se situe entre deux thèses : « Il n’y a que des corps et des langages », pour le matérialisme démocratique contemporain, et « Il n’y a que des corps et des langages, sinon qu’il y a des vérités  » selon les termes de Badiou.

En fait il faut voir là le dernier avatar d’une guerre, interne au christianisme et à l’Occident, datant du concile de Nicée et même avant, entre un christianisme tronqué, limité au corps et à l’âme, et un christianisme intégral, vraiment trinitaire, selon les trois ordres du corps, de l’âme, et de l’esprit, qui a trouvé refuge en particulier dans la version orthodoxe de cette religion.

En philosophie, on retrouve une trace moderne de ces spéculations dans les trois « mondes » de Popper, ou dans ceux du physicien-philosophe  Roger Penrose :  monde physique, monde mental, monde platonicien des Idées, qui forme le thème au sens large de ce petit cours accessible sur le web :

 http://online.itp.ucsb.edu/online/plecture/penrose/oh/01.html

 

 
Tout tient dans le diagramme en page 1,  qui fait aussi l’objet du premier chapitre (« The roots of science ») de l’ouvrage récent de Penrose  : « The road to reality« , notamment du paragraphe 1.4 : « Three worlds and three deep mysteries ». L’ouvrage a été traduit en français chez Odile Jacob sous le titre : « A la découverte des lois de l’Univers« .
Les « trois profonds mystères » concernent les « flèches » du diagramme, qui possède ainsi l’apparence d’un graphe, voire d’une catégorie, que nous pourrions et devrions mettre en correspondance avec un autre graphe célèbre : celui de la Sainte trinité, Père, Fils, Esprit.
La flèche orientée du monde platonicien mathématique vers le monde physique représente l’idée de Penrose selon laquelle tous les phénomènes sont mathématisables : rien de ce qui est réel ne peut se situer en dehors de la juridiction de la science, et il n’y a de science que mathématique.
La flèche orientée du monde physique vers le monde mental est en rapport avec le problème « corps-esprit » et les théories de l’esprit, qui essayent d’expliquer l’émergence du mental à partir de la réalité physique. Certains appellent ceci « matérialisme » mais c’est ambigu, « physicalisme » vaudrait mieux.
Enfin la flèche orientée du monde mental vers le monde platonicien mathématique traduit le fait que selon Penrose aucune notion mathématique (aucune Idée platonicienne) n’est au delà du pouvoir de compréhension de la Raison humaine (et non humaine d’ailleurs, il n’y a qu’UNE Raison).
Penrose laisse cependant ouverte la possibilité d’un diagramme différent où les flèches ne traduiraient pas une inclusion totale : il pourrait y avoir dans ce nouveau diagramme des Idées absolument au delà de l’intelligibilité humaine-rationnelle, des phénomènes physiques au delà de l’intelligibilité mathématique, et des « entités mentales » sans support physique (les « anges » de la scolastique par exemple).
Mais Penrose avoue clairement sa préférence pour le premier diagramme (ce qu’il appelle modestement ses « préjugés »).
Le diagramme possède alors l’apparence du serpent « ouroboros », qui se mord la queue , d’un circuit qui tourne indéfiniment, la Roue cosmique en quelque sorte : flèche 1 —> flèche 2 —-> flèche 3 —–> flèche 1     etc…
Selon Penrose cela recouvre, pointe vers, un mystère plus profond que les trois mystères qu’il a décrits, touchant au fait que les trois « mondes » ne sont pas séparés, ne font qu’UN, une Vérité suprême et unitive dont nous ne possédons qu’un faible pressentiment à l’heure actuelle. Cela rejoint les conceptions de Brunschvicg à propos de l’unité de l’UN, terme asymptotique de l’ascension de l’âme humaine vers l’Esprit pur qui s’appelle « philosophie ».
A la fin de ce chapitre 1 « Aux sources de la science », au paragraphe 1.5, Penrose se réfère explicitement à une autre trinité, la triade platonicienne du Vrai, du Beau et du Bien :
« Je n’ai envisagé la notion platonicienne du « monde des formes idéales » que dans le sens limité des formes mathématiques. Or un aspect essentiel en mathématiques est l’idéal de vérité. Platon lui même aurait insisté sur l’existence de deux autres idéaux absolus et fondamentaux, le beau et le bien. Je suis tout à fait prêt à admettre l’existence de tels idéaux, et à étendre le monde de Platon de telel sorte qu’il contienne des absolus de cette nature ».
(on pourrait tracer ici une correspondance avec les trois critiques kantiennes : celle de la raison pure pour l’idéal de vérité, celle de la raison pratique pour le bien, et celle du jugement pour le beau)
 Il est difficile d’être plus clair ici que Penrose, et nous ne pouvons qu’acquiescer et essayer de nous inspirer, si toutefois nous le pouvons, de cet esprit extraordinaire, exemple trop rare à notre époque d’un savant qui est aussi philosophe (aux  côtés d’un Einstein par exemple, ou d’un Bernard d’Espagnat).
Il ne s’agit en aucun cas d’une dictature d’ordre scientiste des mathématiques, mais , pour nous en tout cas, d’essayer d’accéder au monde spirituel, au « monde des idées », seul vraiment réel, en utilisant l’échelle de la mathématique. 
Cette approche est donc très différente de celles des scientifiques, qui utilisent les mathématiques comme un instrument, voire un langage, ou de celles des amateurs de maths qui les considèrent comme un « hobby ».
Elle se rapproche de celles de bien des philosophes, qui au cours de l’histoire furent conscients du caractère paradigmatique de la discipline mathématique pour la philosophie, à commencer bien sûr par Descartes et Spinoza : dans la pensée de ce dernier, la connaissance du second genre, qui fournit un « pont » vers la pure connaissance intuitive du troisième genre, est de l’ordre de la mathesis, comme cela est clairement expliqué dans l’Ethique.
Mais on pourrait aussi penser à Christian Wolff, qui fut d’ailleurs professeur de mathématiques, et ses considérations sur la « pensée solide » qui est celle des mathématiques, et qui doit devenir l’idéal de toute métaphysique systématique.
J’ajoute que l’on peut aussi trouver des points communs avec les approches ésotériques, comme celle de l’anthroposophie. Mais celles ci sont ici comme « élaguées » de tout ce qui peut s’avérer confus, ou « mystique » : ainsi par exemple le « monde spirituel » de l’anthroposophie est rabattu sur le « monde des idées », absolument immanent, dont parle Brunschvicg et qui est aussi le monde platonicien de Penrose.
Il me semble que l’on peut interpréter dans un tel cadre les notions guénoniennes de « petits » et « Grands Mystères ».
Les « petits mystères« , c’est l’accès au « monde platonicien » de Penrose par le biais des mathématiques : c’est prendre conscience clairement (pas de mystique « mystifiante » ici) et en toute certitude (cartésienne) qu’en manipulant les idées internes à la pensée mathématique, on s’élève au « monde commun » des initiés dont parle Héraclite, ou encore au monde spirituel qui est seul « réel » et « éternel ».
Accéder aux  « Grands mystères » , cela consisterait à résoudre , partiellement ou entièrement, les trois « mystères » dont parle Penrose, ceux de la nature essentielle des trois « liens » ou « morphismes » entre les mondes physique, mental et platonicien.
C’est donc « réaliser » par une sorte de « compréhension ultime et intuitive » (la connaissance du troisème genre spinoziste) l’unité de  l’UN.
Nous comprenons alors ce que dit Guénon : dans les « petits mystères » l’individualité humaine est conservée ; une fois traversés les « Grands Mystères » sa nature illusoire est clairement comprise.
Il y a des corps humains et des âmes humaines individuelles : mais il n’y a qu » UN Esprit, qui est « Dieu ».
Le « but » de l’évolution humaine, si l’on peut s’exprimer ainsi, que ce soit au niveau de l’espèce ou des individus, est l’ascension vers l’Esprit par « l’itinéraire de l’âme individuelle vers Dieu », pour parler comme Saint Bonaventure : accèder au monde platonicien par le monde mental.
Si l’âme individuelle ne réalise pas son identité avec l’Esprit, le « but » de la vie est manqué : l’âme meurt totalement avec le corps.
Nous reconnaissons donc là l’identité du « but final » avec ceux des voies dites « spirituelles » comme le Vedanta.
Mais la spécificité du chemin défini ici est assez claire : jamais l’autonomie intellectuelle dde la conscience n’est sacrifiée, si peu que ce soit, à des impératifs mystiques, dogmatiques ou transcendants qui seraient inaccessibles par nature à la raison.
Il me reste donc à souligner l’intérêt capital de l’ouvrage de Penrose, qui est d’ailleurs largement reconnu, voir par exemple :
 
 
et il y a même un forum (en anglais)  à propos de l’ouvrage :
 
 pour finir, ma position vis à vis du diagramme de Penrose :
je m’aligne à peu près sur ce qu’il appelle ses « préjugés », c’est à dire que j’admet que c’est la première forme du diagramme qui est valide en gros (tout en soulignant qu’il ne s’agit pas d’un véritable diagramme mathématique, au sens où il peut en exister dans la théorie des catégories par exemple, mais d’une « aide à penser »).
Comme de toutes façons je ne peux rien « prouver », ni même justifier vraiment (car il faudrait pour cela un texte bien plus long), je me contenterai de quelques précisions :
1 le lien entre « monde physique » et « monde mental » :
j’admet que toute entité « mentale » a une base physique, ou apparait en relation à une entité physique. C’est là mon « matérialisme », ou mon « physicalisme », et il est minimal comme on le voit. Quelle raison me pousse à adopter une telle position ? un motif du type « rasoir d’Ockham » (il ne faut pas multiplier les entités explicatives au delà du strict nécessaire), et aussi, dans le même ordre d’idées, le fait que si l’on admet que certains phénomènes n’ont aucune « base » (au sens le plus large qui soit) physique, cela veut dire que l’on ouvre les vannes au grand n’importe quoi, et aux discours les plus délirants. Car seule la physique, en tant que science exacte du mesurable, nous permet de vérifier tous les types d’assertion en dernier recours.
Bien entendu cela ne veut pas dire qu’il existe toujours une causalité grossière entre ordre physique et ordre mental; mais même des théories comme la survenance (pour expliquer le mental) possèdent une base physique, qui permet des vérifications.
2 lien entre monde platonicien et monde physique :
 
J’admet qu’aucun phénomène, ou « objet » , du monde physique, n’échappe à la juridiction des « formes platoniciennes » ,ou, pour paraphraser l’Evangile , « qu’aucun cheveu ne peut tomber de notre tête sans la volonté du Père »; les formes platoniciennnes sont selon Penrose des formes mathématiques, mais il admet qu’il peut y avoir d’autres types de formes (ressortissant au Bien, au Beau de Platon), et d’autres parts on doit reconnaitre que notre mathématique est encore à l’état d’enfance, et peut considérablement évoluer dans le futur (s’il en reste un). Pouvait on en 1910 imaginer l’émergence de la théorie des catégories dans les années quarante ?
Mes raisons : comme le monde platonicien est selon moi le seul véritablement « réel », comme le veut tout véritable « idéalisme », et qu’il est en quelque sorte l’Esprit, c’est à dire Dieu, où les deux autres « mondes » doivent être « résorbés » lors de l’achèvement du processus d’unification-spiritualisation qui est la tâche de la conscience humaine individualisée, on ne voit pas bien comment certains éléments physiques ou mentaux resteraient en dehors de sa « juridiction » au sens large (très large !)
3 lien entre monde mental et monde platonicien :
 
c’est ici que les questions qui se posent sont les plus ardues et d’ailleurs les plus cruciales pour le devenir spirituel de l’entité humaine (c’est à dire pour nous tous , êtres individués en une âme et un corps). Car nous savons bien que notre « corps » doit finir par se détériorer et disparaitre, mais par contre notre « conscience », notre « âme » nous semble tellement précieuse que nous nous interrogeons avec le plus d’angoisse sur son « devenir » ultime.
 Et c’est ici que j’ai le plus de mal à trancher, et cela d’ailleurs sans aucune certitude.
Doit on admettre comme Descartes que la raison humaine possède une souveraineté absolue sur son royaume, ou sur son « domaine d’exercice », mais que ce domaine possède des limites absolues en dehors desquelles cette même raison n’a plus aucun pouvoir ?
ou bien doit on suivre Spinoza et conclure à la possibilité pour la Raison humaine de s’égaler à Dieu, en une intelligibilité parfaite du Tout ?
je choisis la seconde option, comme Penrose me semble t’il (mais c’est là simplifier un peu , et il faut aller bien plus au fond de ses discussions), ou comme Hegel.
Par contre Brunschvicg ou le premier Fichte sont plus « prudents », ils refusent de même envisager la possibilité pour une conscience humaine de cesser de se trouver dans les conditions incarnées, avec les limitations qui accompagnent ces conditions…
mes raisons ? je n’en ai pas de véritablement « rationnelles », c’est bien là le pire…
disons que j’ai du mal à comprendre comment une « borne » pourrait être édifiée par la Raison en ce qui concerne l’oeuvre de la Raison… ou, pour paraphraser Blake : « you never know what is enough unless you know what is more than enough »
C’est tout le problème notamment des théorèmes de limitation et d’incomplétude (comme les théorèmes de Gödel) : on peut les voir soit comme « limites », de manière négative, soit comme marque de puissance absolue (le fait pour la raison de s’auto-limiter, de décréter quel est la « forme » de son domaine d’exercice, ses frontières, un peu comme Dieu dans le « Livre de Job » fixe ses limites à la mer).
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Théorie des nombres et monde physique

Nous en sommes arrivés, dans les articles récents, à ce « pressentiment » :

notre « but », qui est aussi le seul « but » que puisse se fixer une société vraiment humaine (totalement différente donc des sociétés inférieures qui sont devenues les nôtres) est l’accès au « monde platonicien des idées » ;  suite à nos lectures de Brunschvicg, nous avons remplacé dans le mot « idées »  le « I » majuscule, par un « i » minuscule, ce qui signifie que la « sortie de la caverne », ou encore l’accès au « monde spirituel », est une possibilité rigoureusement immanente et individuelle, qui est d’ordre intellectuel et non pas « mystique » ou « ésotérique » ou « occulte ».

La barbe du vieux Platon est définitivement rasée par notre rasoir d’Ockham, et les gourous ou « Maîtres spirituels » et autres escrocs ne sont pas acceptés ici, même avec un sari jaune….

Nous avons aussi reconnu qu’une méthode sûre nous garantissant , à condition de travailler d’arrache pied et dans ce SEUL but (donc plus question de penser aux plaisirs, ni aux ambitions, légitimes par ailleurs,  des honnêtes travailleurs de la Science), cet « accès » (et donc nous promettant, selon le mot de l’Evangile, de « ne pas goûter de la mort« , ou, selon la formulation de Brunschvicg, de parvenir à « renoncer à la mort », ce que j’ai retranscrit ici même selon ma propre formulation, qui je le reconnais est un peu ridicule : « aimer D-ieu plus que l’être-pour-la-mort »… et l’on peut voir aussi ici que je vends la peau de l’ours avant de l’avoir tué, car je suis loin d’en être arrivé à réaliser cet idéal philosophique), qu’une méthode sûre , et expérimentée déjà par Spinoza, Descartes, Malebranche, Wronski, et bien sûr Brunschvicg lui même, est de commencer par les « idées mathématiques« , qui se laissent plus aisément manipuler que d’autres ! c’est même là leur définition et leur « nature spécifique », me semble t’il….

 Et l’une des façons les plus aisées de trouver ces idées mathématiques  est bien sûr de lire le livre de Penrose dont nous sommes partis : « A la découverte des lois de l’Univers »…

Comme nous le savons déjà, il y a deux façons de « commencer », c’est à dire de nous reporter à l’aube grecque : arithmétique et géométrie, ou encore : compter des objets discontinus, ou mesurer des surfaces continues…

je choisis ici le chapitre 3 : « Le nombres du monde physique« , qui mêle les deux aspects : continu (réels) et discret (naturels):

«Dans l’élaboration des idées mathématiques, une motivation importante a toujours été de trouver des structures formelles capables de rendre compte avec précision du comportement du monde physique. Mais il est en général impossible d’étudier le monde physique avec une précision suffisante pour en déduire directement des notions mathématiques claires et nettes. En revanche des progrès sont accomplis parce que les notions mathématiques tendent à avoir une « impulsion » qui leur est propre, et qui surgit presque entièrement du seul domaine des idées mathématiques. Les idées mathématiques s’étoffent, et toutes sortes de problèmes se présentent naturellement…pouvant conduire à des  généralisations fondamentales des concepts en fonction desquels le problème avait été formulés, généralisations qui peuvent parfois éclore pour des raisons de commodité, de cohérence ou d’élégance mathématique…

ainsi le développement des mathématiques pourrait il sembler s’écarter de ce pourquoi elles avaient été conçues, c’est à dire uniquement pour traduire les comportements physiques. Et pourtant dans bien des cas, cette recherche de cohérence et d’élégance mathématique nous conduit à des structures et des concepts mathématiques qui décrivent le monde physique de manière beaucoup plus profonde et générale que ceux dont nous étions partis»

Penrose trouve un exemple de ce phénomène dans le système des nombres réels appliqué à la physique.

En fait le corps Q des nombres rationnels (fractions de nombres entiers, de la forme p/q, avec p,q entiers) suffirait à rendre compte des mesures réellement effectuées dans des expériences.

Mais la physique n’aurait aucunement pu se développer sans la découverte (ou bien la création) du corps R, comprenant les rationnels et les irrationnels (qui comprennent les raciens d’équations algébriques mais aussi les nombres dits transcendants, comme π = 3.1416.., e de la fonction exponentielle, etc…).

Or on sait que la découverte de ces nombres remonte au « scandale » que fut pour les grecs la découverte de l’irrationalité de la diagonale du carré, soit de √2.

Paul Dirac, dont l’oeuvre est d’une importance exceptionnelle pour l’étude entreprise ici, nous livre des pensées très proches de celles de Penrose dans un article de 1931 où il élabore les premiers fondements de sa théorie des monopoles magnétiques, voir les liens suivants pour l’article:

http://www.scribd.com/doc/6916812/Dirac-P-A-M-1931-Quantized-Singularities-In-The-Electromagnetic-Fields

http://tem.fisica.edu.uy/P.A.M.Dirac-P.R.S.L.A133-60(1931).pdf

et ceux ci,  pour la notion de monopole magnétique:

http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole

http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0608/0608051.pdf

Mais la pensée de Dirac est reprise dans cet article de Varadarajan : « Has God made the quantum world p-adic ? »:

http://www.math.ucla.edu/~vsv/p-adic%20worldtr.pdf

où sous le nom de « Dirac mode » (page 2 sur 16) Varadarajan analyse le début de l’article de 1931.

page 4 , traduction sommaire:

« le mode Dirac consiste à inventer un nouveau concept ou cadre conceptuel mathématique, et ensuite à essayer de trouver sa présence et son utilité (« relevance ») dans le monde réel »

paraphrasant Dirac :

« une idée mathématiquement belle doit avoir été adoptée par DIEU » (ce qui signifie : doit être présente en physique).

Ici, les idées « belles » ou , en anglais, « relevant » pour les mathématiques, ce sont les « idées mathématiques » dont nous parlions dans les articles sur le spiritualisme de Brunschvicg et le monde platonicien de Penrose.

Varadarajan cite comme exemples les monopoles magnétiques, les théories de jauges non abéliennes, ou la supersymmétrie; mais on peut aussi rappeler que l’antimatière n’a été « trouvée » en laboratoire que plusieurs années que son existence ait été prouvée par l’équation de Dirac. L’article de 1931 donne l’unique preuve de la quantisation de la charge électrique.

Au début de ce même article de 1931 Dirac « prédit » (et l’aveniur lui a donné raison bien sûr) que le développement de la physique théorique nécessitera un approfondissement continuel des mathématiques et un « élargissement » de leurs bases axiomatiques.

On pense là, entre autres, aux récentes avancées théoriques en physique quantique grâce à la théorie des topoi.

Varadarajan passe ensuite (pages 5 et suivantes) à d’autres types de nombres que les réels : les nombres p-adiques (dont Penrose ne parle pas beaucoup dans son livre, c’est là peut être l’une de ses seules faiblesses, mais il est vrai qu’il ne pouvait pas aborder la totalité des mathématiques).

L’intervention des nombres p-adiques est aussi, et le mieux, expliquée ici (page 2) :

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0312/0312046v1.pdf

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0602/0602044v1.pdf (page 1 et 2)

et surtout ici :

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0904/0904.4205v1.pdf (page 1 et 2)

Seuls les rationnels (fractions d’entiers) sont requis pour modéliser (décrire)  des mesures physiques.

Mais les nombres réels interviennent ensuite pour l’analyse mathématique, en tant que le corps R est la complétion de Q pour la norme correspondant à une valuation spéciale, notée []

qui n’est autre que la valeur absolue usuelle.

Les corps p-adiques Qp sont les complétions de Q pour la norme correspondant à la valuation p-adique. Voir explications sur les liens suivants, si vous ne connaissez pas déjà ces choses :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Valuation

Le célèbre théorème d’Ostrowski montre qu’il n’existe (à une équivalence près) que les normes suivantes sur Q : la norme usuelle, correspondant à la valeur absolue usuelle, qui donne par complétion le corps R, et les normes p-adiques, qui donnent par complétion les différents corps p-adiques Qp.

La norme usuelle (réelle) et la métrique associée sont archimédiennes, par contre les normes et métriques p-adiques sont non-archimédiennes.

Ce qui signifie :

supposons que vous ayiez une certaine distance L à parcourir, disons 100 mètres : vous pouvez (et c’est ce que vous faites dans la vie quotidienne, par exemple en marchant dans la rue) la parcourir en additionnant de petites distances, ainsi à supposer qu’à chaque pas vous parcourez 50 cm, il vous faudra 200 pas pour parcourir les 100 mètres. C’est ce que l’on appelle la propriété archimédienne du monde de la géométrie classique, où les distances sont exprimées en nombres réels (en nombres appartenant au corps R obtenu par complétion du corps Q des nombres rationnels muni de la valeur absolue classique comme norme).

Eh bien ce n’est plus vrai pour les « distances » (les métriques) dans les « mondes » p-adiques !

Il est facile de voir pourquoi : c’est à cause de l’inégalité de base qui définit les normes non-archimédiennes :  [x + y] ≤ Max([x], [y])

si vous faites x = y vous obtenez : [2x] ≤ [x]

Il n’est plus vrai que les « pas » s’additionnent pour augmenter la distance parcourue : au contraire la « somme » des distances va en diminuant.

Ceci donne lieu à d’autres propriétés topologiques « étranges » dans les mondes non-archimédiens que sont les « mondes » p-adiques : ainsi si vous prenez une boule (c’est à dire l’ensemble des points qui sont à une distance ≤ R, le rayon,  d’un point fixé A qui est le centre) , tout point de la boule en est le centre.

Si vous prenez deux boules différentes, soit l’une est contenue dans l’autre, soit elles n’ont aucun pont commun !

Varadarajan, dans son article « Has God made the quantum world p-adic ? » : 

http://www.math.ucla.edu/~vsv/p-adic%20worldtr.pdf

cite Volovich :

« l’espace temps est p-adique à l’échelle de la longueur de Planck »

 On définit aussi de nouvelles entités appelées adèles, qui sont des vecteurs ayant un nombre infini de composantes, la première appartenant à R, et les autres aux différents corps Qp :

                              A = (a, a2 , a3 , …, ap , ……)

ce qui permet de formaliser un principe local/global (global au niveau de l’adèle, local au niveau de chaque « monde » p-adique, pour une valeur particulière du nombre premier p).

Ainsi une notion purement arithmétique, celle de nombres premiers (2,3,5,7,11,13 etc…) , c’est à dire les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux mêmes, s’avère jouer un rôle fondamental au niveau de la physique. Et ce n’est pas la seule fois où nous le constaterons.

Varadarajan cite Manin :

« Le monde est en réalité (dans sa globalité) adélique. Mais nous ne pouvons « voir », à cause de la façon dont nous sommes constitués physiquement, que son côté réel »

(il veut dire : celui correspondant à la première composante « réelle » a  de l’adèle; les résultats de nos mesures doivent être des nombres réels, appartenant au corps R).

Par contre, nous pouvons raisonner avec d’autres corps ou algèbres de nombres (nombres complexes, nombres p-adiques, quaternions,octonions) pour élaborer des théories mathématiques de la physique.

Voir aussi :

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0312/0312046v1.pdf