La théorie des topoi et la physique quantique

Voici un article clair de Cecilia Flori qui se présente sous la forme d’une « review », donc récapitulant plusieurs travaux et faisant le point sur la pertinence de la théorie des topoi pour la physique quantique :

http://arxiv.org/abs/1106.5660

autant donc commencer par là l’ascension de la montagne, gravir quelques premières pentes, quelques collines pour avoir un premier « panorama » … et après, mais après seulement passer aux travaux plus « substantiels », dont celui de Cecilia Flori :

http://arxiv.org/find/math-ph,math/1/au:+Flori_C/0/1/0/all/0/1

http://arxiv.org/pdf/1207.1744.pdf (206 pages !)

voici le point de départ de Badiou sur la théorie des topoi , qu’il oppose à celle des ensembles :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/93-94.3.htm

« Factuellement, on peut penser que la théorie des catégories et des topos s’est présentée, tend à se présenter, comme un dispositif global qui serait une alternative à la théorie des ensembles, c’est-à-dire comme une autre manière de fixer le cadre général dans lequel se déploient les concepts de la mathématique, et par conséquent aussi comme une autre méthode d’exposition de la mathématique. Contradiction qui était au départ mon hypothèse.

Selon la méthode consistant à placer la philosophie sous condition de phénomènes de ce genre, de cette situation, la philosophie doit savoir ce qui est en jeu pour elle-même dans cette situation. Lorsque la philosophie se met sous condition de phénomènes scientifiques de ce type, elle ne se met pas sous condition des discours scientifiques, mais sous condition des événements scientifiques.

La thèse que j’ai été amené à soutenir, c’est qu’il ne s’agit pas de deux dispositifs concurrentiels du fondement de la mathématique. Du point de vue du philosophe, il apparaît qu’en réalité, il n’y a pas d’unité de plans entre les deux entreprises : elles ne sont pas deux stratégies pour fonder ou exposer les mathématiques. La visée propre de ces deux entreprises n’a pas la même assignation.

La théorie des ensembles est de l’ordre de la décision ontologique. C’est une véritable prescription décisoire quant à ce qu’est une pensée de l’être-en-tant-qu’être. La vocation immédiate de la théorie des ensembles est de décider un univers mathématique et de faire se mouvoir la pensée mathématique de l’intérieur de cet univers.

La théorie des topos est en réalité une théorie des possibles. C’est une description de possibilité. Son vecteur essentiel est de décrire ce que c’est qu’un univers possible, en retenant les prescriptions d’existence. La métaphore que j’utilise à cet égard est leibnizienne : l’entendement divin est composé de la totalité des univers possibles qui ne lui ek-sistent pas. Et Dieu crée un univers possible qu’il fulgure, selon la norme du meilleur univers possible (celui qui produit le maximum d’effets avec le minimum de causes). Donc, il y a la totalité virtuelle des univers dans l’entendement divin, et un univers qui existe, le meilleur.

On dira que la théorie des topos est la théorie de l’entendement divin, c’est-à-dire des univers possibles, et même de la classification des univers possibles, tandis que la théorie des ensembles est une décision d’univers. Elle en prescrit un, qu’elle crée, qu’elle fulgure. »

L’article de Cecilia Flori aborde la dimension philosophique de la théorie des topoi (2.2 et 3).

Chaque topos est un univers en ce sens qu’il vient avec une logique interne (intuitionniste) et un langage interne.