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Blog « Mathematics without apologies » : le programme « Univalent foundations of mathematics »

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/02/05/mathematica-without-apologies-le-programme-univalent-foundations/

La théorie des topoi et la physique quantique

Voici un article clair de Cecilia Flori qui se présente sous la forme d’une « review », donc récapitulant plusieurs travaux et faisant le point sur la pertinence de la théorie des topoi pour la physique quantique :

http://arxiv.org/abs/1106.5660

autant donc commencer par là l’ascension de la montagne, gravir quelques premières pentes, quelques collines pour avoir un premier « panorama » … et après, mais après seulement passer aux travaux plus « substantiels », dont celui de Cecilia Flori :

http://arxiv.org/find/math-ph,math/1/au:+Flori_C/0/1/0/all/0/1

http://arxiv.org/pdf/1207.1744.pdf (206 pages !)

voici le point de départ de Badiou sur la théorie des topoi , qu’il oppose à celle des ensembles :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/93-94.3.htm

« Factuellement, on peut penser que la théorie des catégories et des topos s’est présentée, tend à se présenter, comme un dispositif global qui serait une alternative à la théorie des ensembles, c’est-à-dire comme une autre manière de fixer le cadre général dans lequel se déploient les concepts de la mathématique, et par conséquent aussi comme une autre méthode d’exposition de la mathématique. Contradiction qui était au départ mon hypothèse.

Selon la méthode consistant à placer la philosophie sous condition de phénomènes de ce genre, de cette situation, la philosophie doit savoir ce qui est en jeu pour elle-même dans cette situation. Lorsque la philosophie se met sous condition de phénomènes scientifiques de ce type, elle ne se met pas sous condition des discours scientifiques, mais sous condition des événements scientifiques.

La thèse que j’ai été amené à soutenir, c’est qu’il ne s’agit pas de deux dispositifs concurrentiels du fondement de la mathématique. Du point de vue du philosophe, il apparaît qu’en réalité, il n’y a pas d’unité de plans entre les deux entreprises : elles ne sont pas deux stratégies pour fonder ou exposer les mathématiques. La visée propre de ces deux entreprises n’a pas la même assignation.

La théorie des ensembles est de l’ordre de la décision ontologique. C’est une véritable prescription décisoire quant à ce qu’est une pensée de l’être-en-tant-qu’être. La vocation immédiate de la théorie des ensembles est de décider un univers mathématique et de faire se mouvoir la pensée mathématique de l’intérieur de cet univers.

La théorie des topos est en réalité une théorie des possibles. C’est une description de possibilité. Son vecteur essentiel est de décrire ce que c’est qu’un univers possible, en retenant les prescriptions d’existence. La métaphore que j’utilise à cet égard est leibnizienne : l’entendement divin est composé de la totalité des univers possibles qui ne lui ek-sistent pas. Et Dieu crée un univers possible qu’il fulgure, selon la norme du meilleur univers possible (celui qui produit le maximum d’effets avec le minimum de causes). Donc, il y a la totalité virtuelle des univers dans l’entendement divin, et un univers qui existe, le meilleur.

On dira que la théorie des topos est la théorie de l’entendement divin, c’est-à-dire des univers possibles, et même de la classification des univers possibles, tandis que la théorie des ensembles est une décision d’univers. Elle en prescrit un, qu’elle crée, qu’elle fulgure. »

L’article de Cecilia Flori aborde la dimension philosophique de la théorie des topoi (2.2 et 3).

Chaque topos est un univers en ce sens qu’il vient avec une logique interne (intuitionniste) et un langage interne.

Théorie des nombres et monde physique

Nous en sommes arrivés, dans les articles récents, à ce « pressentiment » :

notre « but », qui est aussi le seul « but » que puisse se fixer une société vraiment humaine (totalement différente donc des sociétés inférieures qui sont devenues les nôtres) est l’accès au « monde platonicien des idées » ;  suite à nos lectures de Brunschvicg, nous avons remplacé dans le mot « idées »  le « I » majuscule, par un « i » minuscule, ce qui signifie que la « sortie de la caverne », ou encore l’accès au « monde spirituel », est une possibilité rigoureusement immanente et individuelle, qui est d’ordre intellectuel et non pas « mystique » ou « ésotérique » ou « occulte ».

La barbe du vieux Platon est définitivement rasée par notre rasoir d’Ockham, et les gourous ou « Maîtres spirituels » et autres escrocs ne sont pas acceptés ici, même avec un sari jaune….

Nous avons aussi reconnu qu’une méthode sûre nous garantissant , à condition de travailler d’arrache pied et dans ce SEUL but (donc plus question de penser aux plaisirs, ni aux ambitions, légitimes par ailleurs,  des honnêtes travailleurs de la Science), cet « accès » (et donc nous promettant, selon le mot de l’Evangile, de « ne pas goûter de la mort« , ou, selon la formulation de Brunschvicg, de parvenir à « renoncer à la mort », ce que j’ai retranscrit ici même selon ma propre formulation, qui je le reconnais est un peu ridicule : « aimer D-ieu plus que l’être-pour-la-mort »… et l’on peut voir aussi ici que je vends la peau de l’ours avant de l’avoir tué, car je suis loin d’en être arrivé à réaliser cet idéal philosophique), qu’une méthode sûre , et expérimentée déjà par Spinoza, Descartes, Malebranche, Wronski, et bien sûr Brunschvicg lui même, est de commencer par les « idées mathématiques« , qui se laissent plus aisément manipuler que d’autres ! c’est même là leur définition et leur « nature spécifique », me semble t’il….

 Et l’une des façons les plus aisées de trouver ces idées mathématiques  est bien sûr de lire le livre de Penrose dont nous sommes partis : « A la découverte des lois de l’Univers »…

Comme nous le savons déjà, il y a deux façons de « commencer », c’est à dire de nous reporter à l’aube grecque : arithmétique et géométrie, ou encore : compter des objets discontinus, ou mesurer des surfaces continues…

je choisis ici le chapitre 3 : « Le nombres du monde physique« , qui mêle les deux aspects : continu (réels) et discret (naturels):

«Dans l’élaboration des idées mathématiques, une motivation importante a toujours été de trouver des structures formelles capables de rendre compte avec précision du comportement du monde physique. Mais il est en général impossible d’étudier le monde physique avec une précision suffisante pour en déduire directement des notions mathématiques claires et nettes. En revanche des progrès sont accomplis parce que les notions mathématiques tendent à avoir une « impulsion » qui leur est propre, et qui surgit presque entièrement du seul domaine des idées mathématiques. Les idées mathématiques s’étoffent, et toutes sortes de problèmes se présentent naturellement…pouvant conduire à des  généralisations fondamentales des concepts en fonction desquels le problème avait été formulés, généralisations qui peuvent parfois éclore pour des raisons de commodité, de cohérence ou d’élégance mathématique…

ainsi le développement des mathématiques pourrait il sembler s’écarter de ce pourquoi elles avaient été conçues, c’est à dire uniquement pour traduire les comportements physiques. Et pourtant dans bien des cas, cette recherche de cohérence et d’élégance mathématique nous conduit à des structures et des concepts mathématiques qui décrivent le monde physique de manière beaucoup plus profonde et générale que ceux dont nous étions partis»

Penrose trouve un exemple de ce phénomène dans le système des nombres réels appliqué à la physique.

En fait le corps Q des nombres rationnels (fractions de nombres entiers, de la forme p/q, avec p,q entiers) suffirait à rendre compte des mesures réellement effectuées dans des expériences.

Mais la physique n’aurait aucunement pu se développer sans la découverte (ou bien la création) du corps R, comprenant les rationnels et les irrationnels (qui comprennent les raciens d’équations algébriques mais aussi les nombres dits transcendants, comme π = 3.1416.., e de la fonction exponentielle, etc…).

Or on sait que la découverte de ces nombres remonte au « scandale » que fut pour les grecs la découverte de l’irrationalité de la diagonale du carré, soit de √2.

Paul Dirac, dont l’oeuvre est d’une importance exceptionnelle pour l’étude entreprise ici, nous livre des pensées très proches de celles de Penrose dans un article de 1931 où il élabore les premiers fondements de sa théorie des monopoles magnétiques, voir les liens suivants pour l’article:

http://www.scribd.com/doc/6916812/Dirac-P-A-M-1931-Quantized-Singularities-In-The-Electromagnetic-Fields

http://tem.fisica.edu.uy/P.A.M.Dirac-P.R.S.L.A133-60(1931).pdf

et ceux ci,  pour la notion de monopole magnétique:

http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole

http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0608/0608051.pdf

Mais la pensée de Dirac est reprise dans cet article de Varadarajan : « Has God made the quantum world p-adic ? »:

http://www.math.ucla.edu/~vsv/p-adic%20worldtr.pdf

où sous le nom de « Dirac mode » (page 2 sur 16) Varadarajan analyse le début de l’article de 1931.

page 4 , traduction sommaire:

« le mode Dirac consiste à inventer un nouveau concept ou cadre conceptuel mathématique, et ensuite à essayer de trouver sa présence et son utilité (« relevance ») dans le monde réel »

paraphrasant Dirac :

« une idée mathématiquement belle doit avoir été adoptée par DIEU » (ce qui signifie : doit être présente en physique).

Ici, les idées « belles » ou , en anglais, « relevant » pour les mathématiques, ce sont les « idées mathématiques » dont nous parlions dans les articles sur le spiritualisme de Brunschvicg et le monde platonicien de Penrose.

Varadarajan cite comme exemples les monopoles magnétiques, les théories de jauges non abéliennes, ou la supersymmétrie; mais on peut aussi rappeler que l’antimatière n’a été « trouvée » en laboratoire que plusieurs années que son existence ait été prouvée par l’équation de Dirac. L’article de 1931 donne l’unique preuve de la quantisation de la charge électrique.

Au début de ce même article de 1931 Dirac « prédit » (et l’aveniur lui a donné raison bien sûr) que le développement de la physique théorique nécessitera un approfondissement continuel des mathématiques et un « élargissement » de leurs bases axiomatiques.

On pense là, entre autres, aux récentes avancées théoriques en physique quantique grâce à la théorie des topoi.

Varadarajan passe ensuite (pages 5 et suivantes) à d’autres types de nombres que les réels : les nombres p-adiques (dont Penrose ne parle pas beaucoup dans son livre, c’est là peut être l’une de ses seules faiblesses, mais il est vrai qu’il ne pouvait pas aborder la totalité des mathématiques).

L’intervention des nombres p-adiques est aussi, et le mieux, expliquée ici (page 2) :

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0312/0312046v1.pdf

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0602/0602044v1.pdf (page 1 et 2)

et surtout ici :

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0904/0904.4205v1.pdf (page 1 et 2)

Seuls les rationnels (fractions d’entiers) sont requis pour modéliser (décrire)  des mesures physiques.

Mais les nombres réels interviennent ensuite pour l’analyse mathématique, en tant que le corps R est la complétion de Q pour la norme correspondant à une valuation spéciale, notée []

qui n’est autre que la valeur absolue usuelle.

Les corps p-adiques Qp sont les complétions de Q pour la norme correspondant à la valuation p-adique. Voir explications sur les liens suivants, si vous ne connaissez pas déjà ces choses :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Valuation

Le célèbre théorème d’Ostrowski montre qu’il n’existe (à une équivalence près) que les normes suivantes sur Q : la norme usuelle, correspondant à la valeur absolue usuelle, qui donne par complétion le corps R, et les normes p-adiques, qui donnent par complétion les différents corps p-adiques Qp.

La norme usuelle (réelle) et la métrique associée sont archimédiennes, par contre les normes et métriques p-adiques sont non-archimédiennes.

Ce qui signifie :

supposons que vous ayiez une certaine distance L à parcourir, disons 100 mètres : vous pouvez (et c’est ce que vous faites dans la vie quotidienne, par exemple en marchant dans la rue) la parcourir en additionnant de petites distances, ainsi à supposer qu’à chaque pas vous parcourez 50 cm, il vous faudra 200 pas pour parcourir les 100 mètres. C’est ce que l’on appelle la propriété archimédienne du monde de la géométrie classique, où les distances sont exprimées en nombres réels (en nombres appartenant au corps R obtenu par complétion du corps Q des nombres rationnels muni de la valeur absolue classique comme norme).

Eh bien ce n’est plus vrai pour les « distances » (les métriques) dans les « mondes » p-adiques !

Il est facile de voir pourquoi : c’est à cause de l’inégalité de base qui définit les normes non-archimédiennes :  [x + y] ≤ Max([x], [y])

si vous faites x = y vous obtenez : [2x] ≤ [x]

Il n’est plus vrai que les « pas » s’additionnent pour augmenter la distance parcourue : au contraire la « somme » des distances va en diminuant.

Ceci donne lieu à d’autres propriétés topologiques « étranges » dans les mondes non-archimédiens que sont les « mondes » p-adiques : ainsi si vous prenez une boule (c’est à dire l’ensemble des points qui sont à une distance ≤ R, le rayon,  d’un point fixé A qui est le centre) , tout point de la boule en est le centre.

Si vous prenez deux boules différentes, soit l’une est contenue dans l’autre, soit elles n’ont aucun pont commun !

Varadarajan, dans son article « Has God made the quantum world p-adic ? » : 

http://www.math.ucla.edu/~vsv/p-adic%20worldtr.pdf

cite Volovich :

« l’espace temps est p-adique à l’échelle de la longueur de Planck »

 On définit aussi de nouvelles entités appelées adèles, qui sont des vecteurs ayant un nombre infini de composantes, la première appartenant à R, et les autres aux différents corps Qp :

                              A = (a, a2 , a3 , …, ap , ……)

ce qui permet de formaliser un principe local/global (global au niveau de l’adèle, local au niveau de chaque « monde » p-adique, pour une valeur particulière du nombre premier p).

Ainsi une notion purement arithmétique, celle de nombres premiers (2,3,5,7,11,13 etc…) , c’est à dire les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux mêmes, s’avère jouer un rôle fondamental au niveau de la physique. Et ce n’est pas la seule fois où nous le constaterons.

Varadarajan cite Manin :

« Le monde est en réalité (dans sa globalité) adélique. Mais nous ne pouvons « voir », à cause de la façon dont nous sommes constitués physiquement, que son côté réel »

(il veut dire : celui correspondant à la première composante « réelle » a  de l’adèle; les résultats de nos mesures doivent être des nombres réels, appartenant au corps R).

Par contre, nous pouvons raisonner avec d’autres corps ou algèbres de nombres (nombres complexes, nombres p-adiques, quaternions,octonions) pour élaborer des théories mathématiques de la physique.

Voir aussi :

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0312/0312046v1.pdf

Equation de Schrödinger et processus stochastiques

Nous consacrerons ici un espace de  travail  et de réflexion aulivre passionant de R W Carroll :

« Fluctuations, information gravity and the quantum potential »

livre appelant entre tous un travail énorme de lecture, relecture, compréhension puisqu’il est en quelque sorte un « survey » d’une masse considérable d’articles (plus de mille), livres consacrés aux liens de la physique quantique et de l’information.

Un fil directeur du livre est le rôle du potentiel quantique en mécanique quantique et relativité générale, et l’un des bouts de ce fil est la théorie des fluctuations formulée en termes de l’information de Fisher, ce qui nous mène à la théorie de l’information.

Philosophiquement parlant nous réintégrons (ou tentons de réintégrer) la physique mathématique dans une dimension idéaliste qu’elle n’aurait jamais dû quitter : les entités de la physique sont de nature informationnelle.

Nous traçons ainsi une route qui croise celle d’un autre grand et fameux livre, celui de Roy Frieden : « Physics from Fisher information : a unification« , qui, dans une version ultérieure, devient même « Science from Fisher information ».

Commençons donc le livre de Carroll au chapitre 1 « Schrödinger equation », paragraphe 1 : « Diffusion and stochastic processes ».

Le chapitre 1 est consacré aux origines et fondements de la célèbre équation , appelée dans la suite SE (comme Schrödinger equation), et le paragraphe 1 les étudie dans les théories stochastiques de la diffusion… le « splendide palais » du formalisme des espaces de hilbert (et ensuite des algèbres d’opérateurs) fonctionne, mais pourquoi ? that is thze question ! Carroll aborde aussi les questions d’émergence de la mécanique classique CM à partir de la mécanique quantique QM.

dès le début toute une masse de références d’articles est assénée au pauvre lecteur…une seule façon de pénétrer cette jungle : faire un pas, puis un autre….et ne pas oublier la serpe surtout…

premières références pour la « background information »

référence 33 (Jeeva Anandan) :

« Symmetries, quantum geometry and fundamental interactions »  : http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0012/0012011v4.pdf

http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9505/9505011v1.pdf  « Reality and geometry of states and observables in quantum theory »

http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9712/9712015v1.pdf  « Classical and quantum physical geometry »

 

tous les articles de Jeeva Anandan sur arxiv (quant-ph et gr-qc) : http://arxiv.org/find/gr-qc/1/au:+Anandan_J/0/1/0/all/0/1

Le  paragraphe que nous étudions ici se focalise sur les versions  hydronamiques de la SE ainsi que sur ses aspects liés aux processus de diffusion, il s’agit de visionner une « structure d’ensemble » en évitant les aspects mathématiques trop fins (pour lesquels une lsite de références est donnée).

Carroll part de la forme de la SE :  – (h2/2m) ψ » + Vψ = ihψt    en considérant une forme de la fonction d’onde : ψ = Rexp(iS/h)

ce qui lui permet d’aboutir à une forme s’interprétant hydrodynamiquement dans l’esprit de Madelung, voir la référence suivante :

http://arxiv.org/ftp/gr-qc/papers/0211/0211065.pdf (Geometric origin for the Madelung potential)

le principe de TOVARIANCE

Le mieux est de partir de ce papier, qui a le mérite d’être très clair et de ne pas requérir de connaissances techniques préalables :

The principle of general tovariance

http://www.math.ist.utl.pt/~xvi-iwgp/talks/KLandsman.pdf

Ainsi le principe de covariance cher à la relativité devient le principe de « tovariance » de la « toposophie » !

L’extrait en page 1 de l’article du livre de Disalle « Understanding space-time » est tout à fait louable et mérite d’être souligné, en ces temps de « tout à l’économique et à la profitabilité technicienne », et d’oubli concomitant de la réflexion méditante:

« These are the times at which philosophical analysis has become an unavoidable task of physics itself »

Ces « temps » sont notre époque. Et la mention de Smolin et de son livre « Three roads to quantum gravity »  à la page suivante est  tout à fait appropriée.

Smolin, ce grand physicien, qui demande dans son article sur l’héritage d’Einstein  : « where are the Einsteinians ? »:

http://www.logosjournal.com/issue_4.3/smolin.htm

 faisant ainsi allusion à l’obsession d’Einstein pour la réflexion sur les grands problèmes philosophiques, dans la lignée de Spinoza, à son refus de tout compromis intellectuel et à son honnêteté sans failles envers la vérité (il avait rejeté tout autant sa propre relativité restreeinte, très tôt, que certains aspects et interprétations philosophiques de la physique quantique ). Et aussi, voir la fin de l’article, à la difficulté qu’ il y a à emprunter de nouveau le « chemin d’Einstein », dont la moindre n’est pas qu’il faille bien connaitre les théories récentes de la physique, y compris leur aspect mathématique.

Dans son livre récent « The trouble with physics » (« Rien ne va plus en physique »), Smolin fixe pour tâche aux physiciens de l’avenir de résoudre cinq grands problèmes, dont l’un porte sur les « fondements philosophiques de la physique quantique », et sa jonction avec la relativité en une théorie plus vaste.

Lire là dessus cet article du blog Philoscience:

 http://philoscience.over-blog.com/article-6995523.html

Voici aussi un commentaire mesuré du livre de Smolin:

http://www.jp-petit.org/science/smolin/SmolinLivre.pdf

l’importance cruciale du livre de Smolin tient aussi à ce qu’il livre un diagnostic sans concession sur l’impasse de la physique des cordes, qui se traduit notamment par le fait qu’on ne décèle aucune avancée théorique depuis 25 ans (depuis la dernière grande avancée, celle du modèle standard des particules).

Même appréciation (est ce une coïncidence ?) dans le livre de Peter Woit, qui se présente lui même comme un mathématicien s’occupant de physique : « Not even wrong » (« Même pas fausse ») où la physique est renvoyée…dans ses cordes. Voir aussi son blog « Not even wrong » :

http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/

qui complète le livre (qui est d’ailleurs largement commenté).

Mais Smolin, dans « Trouble with physics », fait seulement de brèves allusions à la physique mathématique des catégories et topoi. Il plaide pour sa propre apporche, qui est celle de la gravité quantique à boucles (« loop quantum gravity »). Or entre les deux voies de la théorie des cordes et de la gravité quantique à boucles, il semble bien, c’est l’objet du petit article de Landsman, que la théorie des topoi représente une troisième voie… ce qui ne serait après tout pas surprenant, puisque les topoi offrent tous un cadre pour la logique intuitionniste, où le « tiers exclus » est….exclus

Les topoi offrent à la fois une généralisation au cadre conceptuel ensembliste, puisque ce sont en gros des catégories où l’on peut faire toutes les manipulations usuelles de la catégorie Ens des ensembles (produit cartésien, exponentiation, ensemble des parties, etc…), et un cadre idoine pour penser plus profondément les bases logiques de la physique et des mathématiques (ce qui correspond au plus important des problèmes de Smolin, celui des fondements de la physique quantique…on sait que Feynman disait que « si vous comprenez quelque chose à la physique quantique, c’est que vous ne comprenez rien à la physique quantique » ….encore vaut il mieux affirmer cela que de dire comme Godard je crois : « si vous avez compris quelque chose à ce que je dis, c’est que je me suis mal exprimé »).

Les topoi permettent aussi de « relativiser » voire supprimer la « tension » entre commutativité (de la physique classique) et non-commutatitivté quantique , dans un sens bien précis que l’on va expliquer ici….

à lire aussi à propos de cet article : le blog « n category cafe »  :

http://golem.ph.utexas.edu/category/2007/12/the_principle_of_general_tovar.html

A noter que le papier « Principle of general tovariance » commenté sur le blog « n category cafe » est une version légèrement différente de celle donée ici, et plus complète :

http://www.math.uni-hamburg.de/home/schreiber/tovariance.pdf

Mais continuons avec notre version !

Principe de tovariance vs principe de covariance

le papier donne les définitions principales afférentes à la théorie des topoi, et des « morphismes géométriques » entre eux. On pourra trouver des informations plus complètes, quoiqu’aisées à lire, sur ce site :

http://topos-physics.org/topos

Le principe de tovariance s’énonce alors ainsi :

« Toute structure mathématique gouvernant les lois de la physique doit pouvoir être définie dans n’importe quel topos muni d’un objet des nombres naturels et doit être préservée par les morphismes géométriques »

Il répond au principe de covariance d’Einstein, qui mathématiquement correspond au cadre de la géométrie différentielle utilisé pour la relativité générale :

« les lois de la physiques doivent être covariantes pour des changements de corrodonnées arbitraires »

Les structures préservées par les « morphismes géométriques » entre topoi sont celles qui sont définies :

– par des symboles logiques Λ en nombre fini, V en nombre arbitraire, T (true), F (false), E (quantificateur existentiel)

-par des axiomes de forme : (x) : Φ(x) → Ψ(x) (où (x) veut dire : quelque soit x)

On montre alors (Mulvey) que les C*-algèbres (et les algèbres de Von Neumann), qui constituent le cadre mathématique de la probabilité quantique (« quantum probability theory », voir notamment l’ouvrage classique de P A Meyer chez Springer lecture notes)) obéissent au principe de tovariance.

Ce qui conduit au « nouveau principe d’équivalence », qui vient remplacer celui d’Einstein et celui de Bohr :

« toute C*-algèbre d’observables est équivalente à une C*-algèbre commutative »

La construction d’une C* algèbre commutative à partir d’une algèbre quelconque par le procédé d’abelianisation est sommairement expliquée dans le papier, procédé impliqué dans la théorie générale de Mulvey étendant la théorie de Gelfand à un topos arbitraire, on en trouvera une version complète ici :

http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TYB-4GHRBTK-3&_user=1947264&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000055519&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1947264&md5=e69b103d8b9d04fb472fe3ce9594604b

http://www.maths.sussex.ac.uk/Staff/CJM/research/CJMResearch.htm