Théorie des nombres et monde physique

Nous en sommes arrivés, dans les articles récents, à ce « pressentiment » :

notre « but », qui est aussi le seul « but » que puisse se fixer une société vraiment humaine (totalement différente donc des sociétés inférieures qui sont devenues les nôtres) est l’accès au « monde platonicien des idées » ;  suite à nos lectures de Brunschvicg, nous avons remplacé dans le mot « idées »  le « I » majuscule, par un « i » minuscule, ce qui signifie que la « sortie de la caverne », ou encore l’accès au « monde spirituel », est une possibilité rigoureusement immanente et individuelle, qui est d’ordre intellectuel et non pas « mystique » ou « ésotérique » ou « occulte ».

La barbe du vieux Platon est définitivement rasée par notre rasoir d’Ockham, et les gourous ou « Maîtres spirituels » et autres escrocs ne sont pas acceptés ici, même avec un sari jaune….

Nous avons aussi reconnu qu’une méthode sûre nous garantissant , à condition de travailler d’arrache pied et dans ce SEUL but (donc plus question de penser aux plaisirs, ni aux ambitions, légitimes par ailleurs,  des honnêtes travailleurs de la Science), cet « accès » (et donc nous promettant, selon le mot de l’Evangile, de « ne pas goûter de la mort« , ou, selon la formulation de Brunschvicg, de parvenir à « renoncer à la mort », ce que j’ai retranscrit ici même selon ma propre formulation, qui je le reconnais est un peu ridicule : « aimer D-ieu plus que l’être-pour-la-mort »… et l’on peut voir aussi ici que je vends la peau de l’ours avant de l’avoir tué, car je suis loin d’en être arrivé à réaliser cet idéal philosophique), qu’une méthode sûre , et expérimentée déjà par Spinoza, Descartes, Malebranche, Wronski, et bien sûr Brunschvicg lui même, est de commencer par les « idées mathématiques« , qui se laissent plus aisément manipuler que d’autres ! c’est même là leur définition et leur « nature spécifique », me semble t’il….

 Et l’une des façons les plus aisées de trouver ces idées mathématiques  est bien sûr de lire le livre de Penrose dont nous sommes partis : « A la découverte des lois de l’Univers »…

Comme nous le savons déjà, il y a deux façons de « commencer », c’est à dire de nous reporter à l’aube grecque : arithmétique et géométrie, ou encore : compter des objets discontinus, ou mesurer des surfaces continues…

je choisis ici le chapitre 3 : « Le nombres du monde physique« , qui mêle les deux aspects : continu (réels) et discret (naturels):

«Dans l’élaboration des idées mathématiques, une motivation importante a toujours été de trouver des structures formelles capables de rendre compte avec précision du comportement du monde physique. Mais il est en général impossible d’étudier le monde physique avec une précision suffisante pour en déduire directement des notions mathématiques claires et nettes. En revanche des progrès sont accomplis parce que les notions mathématiques tendent à avoir une « impulsion » qui leur est propre, et qui surgit presque entièrement du seul domaine des idées mathématiques. Les idées mathématiques s’étoffent, et toutes sortes de problèmes se présentent naturellement…pouvant conduire à des  généralisations fondamentales des concepts en fonction desquels le problème avait été formulés, généralisations qui peuvent parfois éclore pour des raisons de commodité, de cohérence ou d’élégance mathématique…

ainsi le développement des mathématiques pourrait il sembler s’écarter de ce pourquoi elles avaient été conçues, c’est à dire uniquement pour traduire les comportements physiques. Et pourtant dans bien des cas, cette recherche de cohérence et d’élégance mathématique nous conduit à des structures et des concepts mathématiques qui décrivent le monde physique de manière beaucoup plus profonde et générale que ceux dont nous étions partis»

Penrose trouve un exemple de ce phénomène dans le système des nombres réels appliqué à la physique.

En fait le corps Q des nombres rationnels (fractions de nombres entiers, de la forme p/q, avec p,q entiers) suffirait à rendre compte des mesures réellement effectuées dans des expériences.

Mais la physique n’aurait aucunement pu se développer sans la découverte (ou bien la création) du corps R, comprenant les rationnels et les irrationnels (qui comprennent les raciens d’équations algébriques mais aussi les nombres dits transcendants, comme π = 3.1416.., e de la fonction exponentielle, etc…).

Or on sait que la découverte de ces nombres remonte au « scandale » que fut pour les grecs la découverte de l’irrationalité de la diagonale du carré, soit de √2.

Paul Dirac, dont l’oeuvre est d’une importance exceptionnelle pour l’étude entreprise ici, nous livre des pensées très proches de celles de Penrose dans un article de 1931 où il élabore les premiers fondements de sa théorie des monopoles magnétiques, voir les liens suivants pour l’article:

http://www.scribd.com/doc/6916812/Dirac-P-A-M-1931-Quantized-Singularities-In-The-Electromagnetic-Fields

http://tem.fisica.edu.uy/P.A.M.Dirac-P.R.S.L.A133-60(1931).pdf

et ceux ci,  pour la notion de monopole magnétique:

http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole

http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0608/0608051.pdf

Mais la pensée de Dirac est reprise dans cet article de Varadarajan : « Has God made the quantum world p-adic ? »:

http://www.math.ucla.edu/~vsv/p-adic%20worldtr.pdf

où sous le nom de « Dirac mode » (page 2 sur 16) Varadarajan analyse le début de l’article de 1931.

page 4 , traduction sommaire:

« le mode Dirac consiste à inventer un nouveau concept ou cadre conceptuel mathématique, et ensuite à essayer de trouver sa présence et son utilité (« relevance ») dans le monde réel »

paraphrasant Dirac :

« une idée mathématiquement belle doit avoir été adoptée par DIEU » (ce qui signifie : doit être présente en physique).

Ici, les idées « belles » ou , en anglais, « relevant » pour les mathématiques, ce sont les « idées mathématiques » dont nous parlions dans les articles sur le spiritualisme de Brunschvicg et le monde platonicien de Penrose.

Varadarajan cite comme exemples les monopoles magnétiques, les théories de jauges non abéliennes, ou la supersymmétrie; mais on peut aussi rappeler que l’antimatière n’a été « trouvée » en laboratoire que plusieurs années que son existence ait été prouvée par l’équation de Dirac. L’article de 1931 donne l’unique preuve de la quantisation de la charge électrique.

Au début de ce même article de 1931 Dirac « prédit » (et l’aveniur lui a donné raison bien sûr) que le développement de la physique théorique nécessitera un approfondissement continuel des mathématiques et un « élargissement » de leurs bases axiomatiques.

On pense là, entre autres, aux récentes avancées théoriques en physique quantique grâce à la théorie des topoi.

Varadarajan passe ensuite (pages 5 et suivantes) à d’autres types de nombres que les réels : les nombres p-adiques (dont Penrose ne parle pas beaucoup dans son livre, c’est là peut être l’une de ses seules faiblesses, mais il est vrai qu’il ne pouvait pas aborder la totalité des mathématiques).

L’intervention des nombres p-adiques est aussi, et le mieux, expliquée ici (page 2) :

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0312/0312046v1.pdf

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0602/0602044v1.pdf (page 1 et 2)

et surtout ici :

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0904/0904.4205v1.pdf (page 1 et 2)

Seuls les rationnels (fractions d’entiers) sont requis pour modéliser (décrire)  des mesures physiques.

Mais les nombres réels interviennent ensuite pour l’analyse mathématique, en tant que le corps R est la complétion de Q pour la norme correspondant à une valuation spéciale, notée []

qui n’est autre que la valeur absolue usuelle.

Les corps p-adiques Qp sont les complétions de Q pour la norme correspondant à la valuation p-adique. Voir explications sur les liens suivants, si vous ne connaissez pas déjà ces choses :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Valuation

Le célèbre théorème d’Ostrowski montre qu’il n’existe (à une équivalence près) que les normes suivantes sur Q : la norme usuelle, correspondant à la valeur absolue usuelle, qui donne par complétion le corps R, et les normes p-adiques, qui donnent par complétion les différents corps p-adiques Qp.

La norme usuelle (réelle) et la métrique associée sont archimédiennes, par contre les normes et métriques p-adiques sont non-archimédiennes.

Ce qui signifie :

supposons que vous ayiez une certaine distance L à parcourir, disons 100 mètres : vous pouvez (et c’est ce que vous faites dans la vie quotidienne, par exemple en marchant dans la rue) la parcourir en additionnant de petites distances, ainsi à supposer qu’à chaque pas vous parcourez 50 cm, il vous faudra 200 pas pour parcourir les 100 mètres. C’est ce que l’on appelle la propriété archimédienne du monde de la géométrie classique, où les distances sont exprimées en nombres réels (en nombres appartenant au corps R obtenu par complétion du corps Q des nombres rationnels muni de la valeur absolue classique comme norme).

Eh bien ce n’est plus vrai pour les « distances » (les métriques) dans les « mondes » p-adiques !

Il est facile de voir pourquoi : c’est à cause de l’inégalité de base qui définit les normes non-archimédiennes :  [x + y] ≤ Max([x], [y])

si vous faites x = y vous obtenez : [2x] ≤ [x]

Il n’est plus vrai que les « pas » s’additionnent pour augmenter la distance parcourue : au contraire la « somme » des distances va en diminuant.

Ceci donne lieu à d’autres propriétés topologiques « étranges » dans les mondes non-archimédiens que sont les « mondes » p-adiques : ainsi si vous prenez une boule (c’est à dire l’ensemble des points qui sont à une distance ≤ R, le rayon,  d’un point fixé A qui est le centre) , tout point de la boule en est le centre.

Si vous prenez deux boules différentes, soit l’une est contenue dans l’autre, soit elles n’ont aucun pont commun !

Varadarajan, dans son article « Has God made the quantum world p-adic ? » : 

http://www.math.ucla.edu/~vsv/p-adic%20worldtr.pdf

cite Volovich :

« l’espace temps est p-adique à l’échelle de la longueur de Planck »

 On définit aussi de nouvelles entités appelées adèles, qui sont des vecteurs ayant un nombre infini de composantes, la première appartenant à R, et les autres aux différents corps Qp :

                              A = (a, a2 , a3 , …, ap , ……)

ce qui permet de formaliser un principe local/global (global au niveau de l’adèle, local au niveau de chaque « monde » p-adique, pour une valeur particulière du nombre premier p).

Ainsi une notion purement arithmétique, celle de nombres premiers (2,3,5,7,11,13 etc…) , c’est à dire les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux mêmes, s’avère jouer un rôle fondamental au niveau de la physique. Et ce n’est pas la seule fois où nous le constaterons.

Varadarajan cite Manin :

« Le monde est en réalité (dans sa globalité) adélique. Mais nous ne pouvons « voir », à cause de la façon dont nous sommes constitués physiquement, que son côté réel »

(il veut dire : celui correspondant à la première composante « réelle » a  de l’adèle; les résultats de nos mesures doivent être des nombres réels, appartenant au corps R).

Par contre, nous pouvons raisonner avec d’autres corps ou algèbres de nombres (nombres complexes, nombres p-adiques, quaternions,octonions) pour élaborer des théories mathématiques de la physique.

Voir aussi :

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0312/0312046v1.pdf

2 réflexions au sujet de « Théorie des nombres et monde physique »

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