Ce lien :
http://www.math.jussieu.fr/~beck/pdf/cplt-wilson.pdf
donne trois démonstrations élégantes du théorème de Wilson, qui donne un critère (difficile à appliquer en pratique) de la primalité d’un nombre :
Un nombre N est premier si et seulement si :
(N-1) ! + 1 ≡ 0 modulo N
ce qui veut dire : la factorielle de N – 1 à laquelle on additionne 1 est un nombre divisible par N
(la factorielle de N étant le produit des nombres de 1 à N).
Ce lien attribue la découverte de ce théorème au mathématicien arabe Ibn Al -Haytham appelé aussi Alhazen.
Seulement la question se pose : l’a t’il seulement conjecturé, ou démontré ?
Selon le lien Wikipedia, il l’a énoncé, mais pas démontré :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Wilson
« Le premier texte à faire référence à ce résultat est énoncé par le mathématicien arabe Alhazen (965 – 1039) »
Je me risquerai à dire que si l’on avait retrouvé une démonstration de lui, ça se saurait !
Or cette question est importante car elle débouche sur un problème philosophique et donc (selon moi) RELIGIEUX de la plus haute importance.
Ce problème philosophique est lié à la citation de Brunschvicg que j’ai déjà rappelée :
« les trois propositions génératrices du scepticisme, de l’immoralisme et de l’athéisme sont : le vrai est, le bien est, Dieu est »
ce qu’il faut bien comprendre c’est que les trois vont toujours ENSEMBLE : scpeticisme, immoralisme et athéisme vont par trois !
Si l’on décrète que le VRAI EST (indépendamment ou « avant » que l’homme ne le découvre vrai) alors on arrive forcément à dire que le bien est et que Dieu est, et l’on aboutit nécessairement au scepticisme, à l’immoralisme et à l’athéisme.
La démonstration de ce point est donnée par Brunschvicg dans cet article qui date de la fin du 19 ème siècle :
http://www.scribd.com/doc/2966162/Brunschvicg-spiritualisme-et-sens-commun
et j’en avais donné un commentaire ici :
Quel rapport avec le théorème de Wilson ?
si le VRAI EST, cela veut dire que le théorème de Wilson est VRAI avant que l’humanité (ou éventuellement tout autre être intelligent capable de faire des mathématiques, mais nous ne connaissons pas actuellement de tels êtres) en ait donné une démonstration.
et donc si le premier homme connu à avoir énoncé cette vérité est Alhazen, alors il est le premier à avoir « connu » ce théorème (dans l’Esprit de Dieu).
Si l’on admet comme moi l’argumentation de Brunschvicg, alors on doit conclure que dire cela conduit à l’athéisme (qui fait rage actuellement avec les manifestations et les attentats meurtriers visant à protester contre un film dit « islamophobe »).
S’abstenir de dire que le VRAI EST consiste à dire que le théorème n’existe pas AVANT qu’un homme en ait donné la démonstration , et cet homme est, selon les sources, Wilson ou Lagrange (ou Leibniz)…
Un théorème véritable VA TOUJOURS avec une démonstration.
C’est (peut être) là le sens de l’affirmation de Spinoza :
« les démonstrations sont les yeux de l’âme »
Seulement ici se présente une objection apparente :
prenons n’importe quelle égalité numérique consistant à faire la somme de deux nombres, par exemple :
6 + 5 = 11
23 + 6 = 29
etc…
Ces égalités dérivent nécessairement des axiomes de Peano, elles sont donc « vraies » dès que les axiomes de Peano sont donnés.
Or ces axiomes datent du 19 ème siècle, donc avant ces axiomes il n’était pas vrai que 2 + 2 = 4 ??
y a comme un défaut !
la réponse est que les axiomes sont une « reprise logique » de la connaissance des vérités mathématiques qui préexistaient !
la mathématique va « du bas vers le haut », elle est de l’ordre de l’analyse
la logique va du « haut vers le bas », des principes, ou plutôt axiomes, vers leurs conséquences : elle est seconde, de l’ordre de la synthèse.
Nous devons nous en tenir à nos conclusions philosophiques, et DIRE, sous peine d’aboutir à l’athéisme et à ses désastres, que :
1 + 1 = 2 n’est pas vrai tant qu’on ne l’a pas démontré !
pour mémoire, c’est démontré au chapitre 112 des Principia mathematica , tome 2 , portant sur l’addition des cardinaux :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica
http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAT3201.0002.001
mais là encore il s’agit d’un travail de logique !
à vrai dire , pour les nombres de taille normale, « démontrer » ce genre de vérités est immédiat : il suffit de faire le calcul …
mais allez donc faire le calcul de nombres très grands , de puissances énormes que l’on ne sait pas manipuler, par exemple :
2236956 ^ 8457406 + 49572943 ^ 964823149673
(le signe ^ veut dire puissance)
résultat ?
pas de résultat, personne ne sait faire le calcul, cela dépasse la portée de nos ordinateurs !
on doit en conclure que ce nombre existe mais n’a pas de valeur (vraie)
sans parler des très grands nombres, formalisés avec d’autres symboles que ^, par exemple les flèches de Knuth :
http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth’s_up-arrow_notation
ou les chaines de Conway :
http://en.wikipedia.org/wiki/Conway_chained_arrow_notation
ou les hyperopérations :
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyper_operator
allez donc calculer :
525 → 1625 → 986 = N
ce nombre a un sens, il peut entrer dans des formules, mais tant qu’on n’a pas calculé sa valeur il n’en a pas !
ou en tout cas pas d’autre que son expression avec les chaînes de Conway
Ce qui veut dire strictement ceci :
on ne peut pas poser une égalité :
N = ….
avec au second membre un nombre sous forme décimale (ou autre, ce n’est pas le problème)
ou plutôt : si l’on dit qu’il en a une, on est athée !
si donc l’on appartient (avec conviction) à l’une des trois religions monothéistes, qui toutes disent que Dieu EST, alors on DOIT dire que ce nombre a une valeur, connue seulement de Dieu.
Et l’on est alors athée !
mais il est évidemment parfaitement permis d’être athée !
Je voudrais juste rajouter ceci, car je me rends compte après coup combien ma « conclusion » peut paraître « folle » :
– oui les véritables athées sont ceux qui « croient en Dieu », qui croient que Dieu est un (super)-étant, sur le modèles des « étants » du monde (car quels autres ?) : cela est maintenant pour moi une évidence
-mais ce qui semblera inadmissible est la partie sur les mathématiques … Or, que l’on réfléchisse à ceci :
La valeur , ou l’expression décimale (en base 10, ou en tout autre base) n’est pas ce dont on se préoccupe vraiment en mathématiques !
Nous importent beaucoup plus sa factorisation en facteurs premiers !
Je le maintiens : tant que l’ on a pas su calculer la valeur en base 10 d’un des nombres énormes dont je parle plus haut, cette valeur est « inexistante » ( avec une valeur de vérité)
Mais de toutes façons, pour écrire une telle expression, une feuille de papier égale au diamètre de notre système solaire, et même de notre galaxie, ne suffirait pas !!
Ce qui importe bien plus aux mathématiciens étaux philosophes, qui sont les prêtres modernes, c’est de démontrer une équation qui soit l’égalité du nombre énorme N écrit plus haut sous forme d’une chaîne de Conway avec une autre expression, sous forme d’une autre chaîne, ou d’une hyperoperation, ou d’une notation de Knuth…
C’est ainsi que le savoir mathématique s’édifie, jour après jour
C’est ainsi que les vérités, les théorèmes, s’entretissent sur le métier silencieux du temps
Encore une remarque : ce que je dis ici semble aller contre la conception platonicienne des mathématiques, pour le mathématicien inventeur de Wittgenstein contre le mathématicien découvreur de Platon et Alain Connes ou bien d’autres..
Mais il y a deux Platons, le Platon mythologue et autoritaire, et le Platon philosophe, de même qu’il y a deux Fichte, deux Wittgenstein, deux Rudolf Steiner.
Et l’on a pris le faux Platon pour le vrai…
Par contre il n’y a qu’un seul Brunschvicg !
Henosophia Léon BRUNSCHVICG et la philosophie Μαθεσις Universalis 