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Alhazen et le théorème de Wilson

Ce lien :

http://www.math.jussieu.fr/~beck/pdf/cplt-wilson.pdf

donne trois démonstrations élégantes du théorème de Wilson, qui donne un critère (difficile à appliquer en pratique) de la primalité d’un nombre :

Un nombre N est premier si et seulement si :

(N-1) ! + 1 ≡ 0 modulo N

ce qui veut dire : la factorielle de N – 1 à laquelle on additionne 1 est un nombre divisible par N

(la factorielle de N étant le produit des nombres de 1 à N).

Ce lien attribue la découverte de ce théorème au mathématicien arabe Ibn Al -Haytham appelé aussi Alhazen.

Seulement la question se pose : l’a t’il seulement conjecturé, ou démontré ?

Selon le lien Wikipedia, il l’a énoncé, mais pas démontré :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Wilson

« Le premier texte à faire référence à ce résultat est énoncé par le mathématicien arabe Alhazen (965 – 1039) »

Je me risquerai à dire que si l’on avait retrouvé une démonstration de lui, ça se saurait !

Or cette question est importante car elle débouche sur un problème philosophique et donc (selon moi) RELIGIEUX de la plus haute importance.

Ce problème philosophique est lié à la citation de Brunschvicg que j’ai déjà rappelée :

« les trois propositions génératrices du scepticisme, de l’immoralisme et de l’athéisme sont : le vrai est, le bien est, Dieu est »

ce qu’il faut bien comprendre c’est que les trois vont toujours ENSEMBLE : scpeticisme, immoralisme et athéisme vont par trois !

Si l’on décrète que le VRAI EST (indépendamment ou « avant » que l’homme ne le découvre vrai) alors on arrive forcément à dire que le bien est et que Dieu est, et l’on aboutit nécessairement au scepticisme, à l’immoralisme et à l’athéisme.

La démonstration de ce point est donnée par Brunschvicg dans cet article qui date de la fin du 19 ème siècle :

http://www.scribd.com/doc/2966162/Brunschvicg-spiritualisme-et-sens-commun

et j’en avais donné un commentaire ici :

http://www.blogg.org/blog-76490-billet-atheisme__spiritualisme__philosophie_et_sens_commun_selon_brunschvicg-955910.html

http://www.blogg.org/blog-76490-billet-l__atheisme_nous_va_si_bien___l_initiation_selon_brunschvicg-958406.html

Quel rapport avec le théorème de Wilson ?

si le VRAI EST, cela veut dire que le théorème de Wilson est VRAI avant que l’humanité (ou éventuellement tout autre être intelligent capable de faire des mathématiques, mais nous ne connaissons pas actuellement de tels êtres) en ait donné une démonstration.

et donc si le premier homme connu à avoir énoncé cette vérité est Alhazen, alors il est le premier à avoir « connu » ce théorème (dans l’Esprit de Dieu).

Si l’on admet comme moi l’argumentation de Brunschvicg, alors on doit conclure que dire cela conduit à l’athéisme (qui fait rage actuellement avec les manifestations et les attentats meurtriers visant à protester contre un film dit « islamophobe »).

S’abstenir de dire que le VRAI EST consiste à dire que le théorème n’existe pas AVANT qu’un homme en ait donné la démonstration , et cet homme est, selon les sources, Wilson ou Lagrange (ou Leibniz)…

Un théorème véritable VA TOUJOURS avec une démonstration.

C’est (peut être) là le sens de l’affirmation de Spinoza :

« les démonstrations sont les yeux de l’âme »

Seulement ici se présente une objection apparente :

prenons n’importe quelle égalité numérique consistant à faire la somme de deux nombres, par exemple :

6 + 5 = 11

23 + 6 = 29

etc…

Ces égalités dérivent nécessairement des axiomes de Peano, elles sont donc « vraies » dès que les axiomes de Peano sont donnés.

Or ces axiomes datent du 19 ème siècle, donc avant ces axiomes il n’était pas vrai que 2 + 2 = 4 ??

y a comme un défaut !

la réponse est que les axiomes sont une « reprise logique » de la connaissance des vérités mathématiques qui préexistaient !

la mathématique va « du bas vers le haut », elle est de l’ordre de l’analyse

la logique va du « haut vers le bas », des principes, ou plutôt axiomes, vers leurs conséquences : elle est seconde, de l’ordre de la synthèse.

Nous devons nous en tenir à nos conclusions philosophiques, et DIRE, sous peine d’aboutir à l’athéisme et à ses désastres, que :

1 + 1 = 2 n’est pas vrai tant qu’on ne l’a pas démontré !

pour mémoire, c’est démontré au chapitre 112 des Principia mathematica , tome 2 , portant sur l’addition des cardinaux :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica

http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAT3201.0002.001

mais là encore il s’agit d’un travail de logique !

à vrai dire , pour les nombres de taille normale, « démontrer » ce genre de vérités est immédiat : il suffit de faire le calcul …

mais allez donc faire le calcul de nombres très grands , de puissances énormes que l’on ne sait pas manipuler, par exemple :

2236956 ^ 8457406 + 49572943 ^ 964823149673

(le signe ^ veut dire puissance)

résultat ?

pas de résultat, personne ne sait faire le calcul, cela dépasse la portée de nos ordinateurs !

on doit en conclure que ce nombre existe mais n’a pas de valeur (vraie)

sans parler des très grands nombres, formalisés avec d’autres symboles que ^, par exemple les flèches de Knuth :

http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth’s_up-arrow_notation

ou les chaines de Conway :

http://en.wikipedia.org/wiki/Conway_chained_arrow_notation

ou les hyperopérations :

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyper_operator

allez donc calculer :

525 → 1625 → 986 = N

ce nombre a un sens, il peut entrer dans des formules, mais tant qu’on n’a pas calculé sa valeur il n’en a pas !

ou en tout cas pas d’autre que son expression avec les chaînes de Conway

Ce qui veut dire strictement ceci :

on ne peut pas poser une égalité :

N = ….

avec au second membre un nombre sous forme décimale (ou autre, ce n’est pas le problème)

ou plutôt : si l’on dit qu’il en a une, on est athée !

si donc l’on appartient (avec conviction) à l’une des trois religions monothéistes, qui toutes disent que Dieu EST, alors on DOIT dire que ce nombre a une valeur, connue seulement de Dieu.

Et l’on est alors athée !

mais il est évidemment parfaitement permis d’être athée !

Je voudrais juste rajouter ceci, car je me rends compte après coup combien ma « conclusion » peut paraître « folle » :

– oui les véritables athées sont ceux qui « croient en Dieu », qui croient que Dieu est un (super)-étant, sur le modèles des « étants » du monde (car quels autres ?) : cela est maintenant pour moi une évidence

-mais ce qui semblera inadmissible est la partie sur les mathématiques … Or, que l’on réfléchisse à ceci :

La valeur , ou l’expression décimale (en base 10, ou en tout autre base) n’est pas ce dont on se préoccupe vraiment en mathématiques !

Nous importent beaucoup plus sa factorisation en facteurs premiers !

Je le maintiens : tant que l’ on a pas su calculer la valeur en base 10 d’un des nombres énormes dont je parle plus haut, cette valeur est « inexistante » ( avec une valeur de vérité)

Mais de toutes façons, pour écrire une telle expression, une feuille de papier égale au diamètre de notre système solaire, et même de notre galaxie, ne suffirait pas !!

Ce qui importe bien plus aux mathématiciens étaux philosophes, qui sont les prêtres modernes, c’est de démontrer une équation qui soit l’égalité du nombre énorme N écrit plus haut sous forme d’une chaîne de Conway avec une autre expression, sous forme d’une autre chaîne, ou d’une hyperoperation, ou d’une notation de Knuth…

C’est ainsi que le savoir mathématique s’édifie, jour après jour

C’est ainsi que les vérités, les théorèmes, s’entretissent sur le métier silencieux du temps

Encore une remarque : ce que je dis ici semble aller contre la conception platonicienne des mathématiques, pour le mathématicien inventeur de Wittgenstein contre le mathématicien découvreur de Platon et Alain Connes ou bien d’autres..

Mais il y a deux Platons, le Platon mythologue et autoritaire, et le Platon philosophe, de même qu’il y a deux Fichte, deux Wittgenstein, deux Rudolf Steiner.

Et l’on a pris le faux Platon pour le vrai…

Par contre il n’y a qu’un seul Brunschvicg !

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Théorie des nombres et monde physique

Nous en sommes arrivés, dans les articles récents, à ce « pressentiment » :

notre « but », qui est aussi le seul « but » que puisse se fixer une société vraiment humaine (totalement différente donc des sociétés inférieures qui sont devenues les nôtres) est l’accès au « monde platonicien des idées » ;  suite à nos lectures de Brunschvicg, nous avons remplacé dans le mot « idées »  le « I » majuscule, par un « i » minuscule, ce qui signifie que la « sortie de la caverne », ou encore l’accès au « monde spirituel », est une possibilité rigoureusement immanente et individuelle, qui est d’ordre intellectuel et non pas « mystique » ou « ésotérique » ou « occulte ».

La barbe du vieux Platon est définitivement rasée par notre rasoir d’Ockham, et les gourous ou « Maîtres spirituels » et autres escrocs ne sont pas acceptés ici, même avec un sari jaune….

Nous avons aussi reconnu qu’une méthode sûre nous garantissant , à condition de travailler d’arrache pied et dans ce SEUL but (donc plus question de penser aux plaisirs, ni aux ambitions, légitimes par ailleurs,  des honnêtes travailleurs de la Science), cet « accès » (et donc nous promettant, selon le mot de l’Evangile, de « ne pas goûter de la mort« , ou, selon la formulation de Brunschvicg, de parvenir à « renoncer à la mort », ce que j’ai retranscrit ici même selon ma propre formulation, qui je le reconnais est un peu ridicule : « aimer D-ieu plus que l’être-pour-la-mort »… et l’on peut voir aussi ici que je vends la peau de l’ours avant de l’avoir tué, car je suis loin d’en être arrivé à réaliser cet idéal philosophique), qu’une méthode sûre , et expérimentée déjà par Spinoza, Descartes, Malebranche, Wronski, et bien sûr Brunschvicg lui même, est de commencer par les « idées mathématiques« , qui se laissent plus aisément manipuler que d’autres ! c’est même là leur définition et leur « nature spécifique », me semble t’il….

 Et l’une des façons les plus aisées de trouver ces idées mathématiques  est bien sûr de lire le livre de Penrose dont nous sommes partis : « A la découverte des lois de l’Univers »…

Comme nous le savons déjà, il y a deux façons de « commencer », c’est à dire de nous reporter à l’aube grecque : arithmétique et géométrie, ou encore : compter des objets discontinus, ou mesurer des surfaces continues…

je choisis ici le chapitre 3 : « Le nombres du monde physique« , qui mêle les deux aspects : continu (réels) et discret (naturels):

«Dans l’élaboration des idées mathématiques, une motivation importante a toujours été de trouver des structures formelles capables de rendre compte avec précision du comportement du monde physique. Mais il est en général impossible d’étudier le monde physique avec une précision suffisante pour en déduire directement des notions mathématiques claires et nettes. En revanche des progrès sont accomplis parce que les notions mathématiques tendent à avoir une « impulsion » qui leur est propre, et qui surgit presque entièrement du seul domaine des idées mathématiques. Les idées mathématiques s’étoffent, et toutes sortes de problèmes se présentent naturellement…pouvant conduire à des  généralisations fondamentales des concepts en fonction desquels le problème avait été formulés, généralisations qui peuvent parfois éclore pour des raisons de commodité, de cohérence ou d’élégance mathématique…

ainsi le développement des mathématiques pourrait il sembler s’écarter de ce pourquoi elles avaient été conçues, c’est à dire uniquement pour traduire les comportements physiques. Et pourtant dans bien des cas, cette recherche de cohérence et d’élégance mathématique nous conduit à des structures et des concepts mathématiques qui décrivent le monde physique de manière beaucoup plus profonde et générale que ceux dont nous étions partis»

Penrose trouve un exemple de ce phénomène dans le système des nombres réels appliqué à la physique.

En fait le corps Q des nombres rationnels (fractions de nombres entiers, de la forme p/q, avec p,q entiers) suffirait à rendre compte des mesures réellement effectuées dans des expériences.

Mais la physique n’aurait aucunement pu se développer sans la découverte (ou bien la création) du corps R, comprenant les rationnels et les irrationnels (qui comprennent les raciens d’équations algébriques mais aussi les nombres dits transcendants, comme π = 3.1416.., e de la fonction exponentielle, etc…).

Or on sait que la découverte de ces nombres remonte au « scandale » que fut pour les grecs la découverte de l’irrationalité de la diagonale du carré, soit de √2.

Paul Dirac, dont l’oeuvre est d’une importance exceptionnelle pour l’étude entreprise ici, nous livre des pensées très proches de celles de Penrose dans un article de 1931 où il élabore les premiers fondements de sa théorie des monopoles magnétiques, voir les liens suivants pour l’article:

http://www.scribd.com/doc/6916812/Dirac-P-A-M-1931-Quantized-Singularities-In-The-Electromagnetic-Fields

http://tem.fisica.edu.uy/P.A.M.Dirac-P.R.S.L.A133-60(1931).pdf

et ceux ci,  pour la notion de monopole magnétique:

http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole

http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0608/0608051.pdf

Mais la pensée de Dirac est reprise dans cet article de Varadarajan : « Has God made the quantum world p-adic ? »:

http://www.math.ucla.edu/~vsv/p-adic%20worldtr.pdf

où sous le nom de « Dirac mode » (page 2 sur 16) Varadarajan analyse le début de l’article de 1931.

page 4 , traduction sommaire:

« le mode Dirac consiste à inventer un nouveau concept ou cadre conceptuel mathématique, et ensuite à essayer de trouver sa présence et son utilité (« relevance ») dans le monde réel »

paraphrasant Dirac :

« une idée mathématiquement belle doit avoir été adoptée par DIEU » (ce qui signifie : doit être présente en physique).

Ici, les idées « belles » ou , en anglais, « relevant » pour les mathématiques, ce sont les « idées mathématiques » dont nous parlions dans les articles sur le spiritualisme de Brunschvicg et le monde platonicien de Penrose.

Varadarajan cite comme exemples les monopoles magnétiques, les théories de jauges non abéliennes, ou la supersymmétrie; mais on peut aussi rappeler que l’antimatière n’a été « trouvée » en laboratoire que plusieurs années que son existence ait été prouvée par l’équation de Dirac. L’article de 1931 donne l’unique preuve de la quantisation de la charge électrique.

Au début de ce même article de 1931 Dirac « prédit » (et l’aveniur lui a donné raison bien sûr) que le développement de la physique théorique nécessitera un approfondissement continuel des mathématiques et un « élargissement » de leurs bases axiomatiques.

On pense là, entre autres, aux récentes avancées théoriques en physique quantique grâce à la théorie des topoi.

Varadarajan passe ensuite (pages 5 et suivantes) à d’autres types de nombres que les réels : les nombres p-adiques (dont Penrose ne parle pas beaucoup dans son livre, c’est là peut être l’une de ses seules faiblesses, mais il est vrai qu’il ne pouvait pas aborder la totalité des mathématiques).

L’intervention des nombres p-adiques est aussi, et le mieux, expliquée ici (page 2) :

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0312/0312046v1.pdf

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0602/0602044v1.pdf (page 1 et 2)

et surtout ici :

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0904/0904.4205v1.pdf (page 1 et 2)

Seuls les rationnels (fractions d’entiers) sont requis pour modéliser (décrire)  des mesures physiques.

Mais les nombres réels interviennent ensuite pour l’analyse mathématique, en tant que le corps R est la complétion de Q pour la norme correspondant à une valuation spéciale, notée []

qui n’est autre que la valeur absolue usuelle.

Les corps p-adiques Qp sont les complétions de Q pour la norme correspondant à la valuation p-adique. Voir explications sur les liens suivants, si vous ne connaissez pas déjà ces choses :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Valuation

Le célèbre théorème d’Ostrowski montre qu’il n’existe (à une équivalence près) que les normes suivantes sur Q : la norme usuelle, correspondant à la valeur absolue usuelle, qui donne par complétion le corps R, et les normes p-adiques, qui donnent par complétion les différents corps p-adiques Qp.

La norme usuelle (réelle) et la métrique associée sont archimédiennes, par contre les normes et métriques p-adiques sont non-archimédiennes.

Ce qui signifie :

supposons que vous ayiez une certaine distance L à parcourir, disons 100 mètres : vous pouvez (et c’est ce que vous faites dans la vie quotidienne, par exemple en marchant dans la rue) la parcourir en additionnant de petites distances, ainsi à supposer qu’à chaque pas vous parcourez 50 cm, il vous faudra 200 pas pour parcourir les 100 mètres. C’est ce que l’on appelle la propriété archimédienne du monde de la géométrie classique, où les distances sont exprimées en nombres réels (en nombres appartenant au corps R obtenu par complétion du corps Q des nombres rationnels muni de la valeur absolue classique comme norme).

Eh bien ce n’est plus vrai pour les « distances » (les métriques) dans les « mondes » p-adiques !

Il est facile de voir pourquoi : c’est à cause de l’inégalité de base qui définit les normes non-archimédiennes :  [x + y] ≤ Max([x], [y])

si vous faites x = y vous obtenez : [2x] ≤ [x]

Il n’est plus vrai que les « pas » s’additionnent pour augmenter la distance parcourue : au contraire la « somme » des distances va en diminuant.

Ceci donne lieu à d’autres propriétés topologiques « étranges » dans les mondes non-archimédiens que sont les « mondes » p-adiques : ainsi si vous prenez une boule (c’est à dire l’ensemble des points qui sont à une distance ≤ R, le rayon,  d’un point fixé A qui est le centre) , tout point de la boule en est le centre.

Si vous prenez deux boules différentes, soit l’une est contenue dans l’autre, soit elles n’ont aucun pont commun !

Varadarajan, dans son article « Has God made the quantum world p-adic ? » : 

http://www.math.ucla.edu/~vsv/p-adic%20worldtr.pdf

cite Volovich :

« l’espace temps est p-adique à l’échelle de la longueur de Planck »

 On définit aussi de nouvelles entités appelées adèles, qui sont des vecteurs ayant un nombre infini de composantes, la première appartenant à R, et les autres aux différents corps Qp :

                              A = (a, a2 , a3 , …, ap , ……)

ce qui permet de formaliser un principe local/global (global au niveau de l’adèle, local au niveau de chaque « monde » p-adique, pour une valeur particulière du nombre premier p).

Ainsi une notion purement arithmétique, celle de nombres premiers (2,3,5,7,11,13 etc…) , c’est à dire les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux mêmes, s’avère jouer un rôle fondamental au niveau de la physique. Et ce n’est pas la seule fois où nous le constaterons.

Varadarajan cite Manin :

« Le monde est en réalité (dans sa globalité) adélique. Mais nous ne pouvons « voir », à cause de la façon dont nous sommes constitués physiquement, que son côté réel »

(il veut dire : celui correspondant à la première composante « réelle » a  de l’adèle; les résultats de nos mesures doivent être des nombres réels, appartenant au corps R).

Par contre, nous pouvons raisonner avec d’autres corps ou algèbres de nombres (nombres complexes, nombres p-adiques, quaternions,octonions) pour élaborer des théories mathématiques de la physique.

Voir aussi :

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0312/0312046v1.pdf

l’importance de la théorie des nombres

L’importance exceptionnelle de l’évolution de la théorie des nombres à la fois pour la philosophie ET la religion vraie saute aux yeux si l’on admet les admirables développements de Brunschvicg au début du « Progrès de la conscience » :

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/progres_conscience_t1/progres_conscience_t1.html

(page 13)

«Ces observations contiennent le secret de l’histoire du pythagorisme. L’homo sapiens, vainqueur de l’homo faber, y est vaincu par l’homo credulus. Grâce aux démonstrations irréprochables de l’arithmétique pythagoricienne, l’humanité a compris qu’elle possédait la capacité de se certifier à elle-même, non pas des vérités qui seraient relatives au caractère de la race ou du climat, subordonnées au crédit des magiciens ou des prêtres, à l’autorité des chefs politiques ou des pédagogues, mais la vérité, nécessairement et universellement vraie. Elle s’est donnée alors à elle-même la promesse d’une rénovation totale dans l’ordre des valeurs morales et religieuses. Or, soit que l’homo sapiens du pythagorisme ait trop présumé de sa force naissante, dans la lutte contre le respect superstitieux du passé, soit qu’il n’ait même pas réussi à engager le combat, on ne saurait douter que le succès de l’arithmétique positive ait, en fin de compte, servi d’argument pour consolider, pour revivifier, à l’aide d’analogies mystérieuses et fantaisistes, les propriétés surnaturelles que l’imagination primitive associe aux combinaisons numériques. La raison, impatiente de déployer en pleine lumière sa vertu intrinsèque et son efficacité, s’est heurtée à ce qui apparaît du dehors comme la révélation d’une Parole Sacrée, témoin « le fameux serment des Pythagoriciens : « Non, je le jure par Celui qui a révélé à notre âme la tétractys (c’est-à-dire le schème décadique formé par la série des quatre premiers nombres) qui a en elle la source et la racine de l’éternelle nature… » Le caractère mystique du Pythagorisme (ajoute M. Robin) se révèle encore par d’autres indices : c’est caché par un rideau, que le Maître parle aux novices, et le fameux : Il l’a dit (αὐτὸς ἔφα) ne signifie pas seulement que sa parole doit être aveuglément crue, mais aussi que son nom sacré ne doit pas être profané » .

Il est à remarquer que le conflit des tendances n’est pas resté à l’état latent : il y a eu, sans doute vers la fin du Ve siècle, un schisme dans la Société pythagoricienne, et qui a mis aux prises Mathématiciens et Acousmatiques. Ceux-ci (et les expressions dont se sert M. Robin sont tout à fait significatives), « pour conserver à l’Ordre une vie spirituelle, parallèle à celle de l’Orphisme et capable de la même force d’expansion ou de résistance, s’attachèrent avec une passion aveugle à l’élément sacramentel et mystérieux de la révélation, à des rites et à des formules : les Acousmatiques ont voulu être des croyants et des dévots. Les autres, sans abandonner formellement le credo des premiers, en jugèrent l’horizon trop étroit : ils voulurent être, et eux aussi pour le salut spirituel de leur Ordre, des hommes de science. Mais cela n’était possible qu’à la condition de renoncer à l’obligation du secret mystique et de justifier rationnellement des propositions doctrinales. Aux yeux des dévots, ces savants étaient donc des hérétiques. Mais ce sont eux, hommes de la seconde génération pythagorique, qui ont transformé en une école de philosophie l’association religieuse originaire. C’est pourtant celle-ci, réduite à ses rites et à ses dogmes, qui a survécu jusqu’au réveil néo-pythagoricien. » (Op. cit., p. 67.)

Ainsi, dans l’évolution du pythagorisme se sont succédé ou se sont juxtaposées les formes extrêmes de la sagesse humaine et de la crédulité théosophique, correspondant elles-mêmes aux limites idéales du mouvement que nous nous proposons d’étudier dans le présent ouvrage. Toutefois, étant données l’incertitude et la confusion de notre information historique, pythagorisme et néo-pythagorisme demeurent comme au seuil de la conscience occidentale. Nous ne sommes capables de définir cette conscience qu’avec Socrate, c’est-à-dire avec le portrait qui nous a été laissé de lui par des Socratiques. A partir de ce moment, nous le savons, l’homme se rend compte qu’il a la charge de se constituer lui-même, en faisant fond sur un pouvoir pratique de réflexion qui lie la réforme de la conduite individuelle ou de la vie publique à la réforme de l’être intérieur. A partir de ce moment donc, la question se pose pour nous de savoir quel a été, dans le cours de la pensée européenne, l’usage effectif de ce pouvoir ; ce qui revient à esquisser une monographie de l’homo sapiens

suivre le progrès de la théorie des nombres, depuis l’époque des mathématiciens antiques (grecs) , puis à partir de sa « reprise » en Europe avec Fermat, Mersenne, etc…, cela consiste donc à opérer un travail de décantation et de discrimination (du vrai et du faux).

C’est un travail pratique de recherche de la vérité qui doit, selon Brunschvicg (et Descartes ou Malebranche) nous rénover moralement et religieusement.

car c’est intervenir directement sur le (très ancien) champ de bataille entre esprit régressif (hétéronomie) et esprit « moderne » (c’est à contre coeur que j’emploie ce mot, car je rejette la « modernité », qui devrait plutôt s’appeler « post-moderne ») et autonomie.